均值坐标定义

使得

证明mvc为广义重心坐标

要求证明式子（1）成立。

根据定义可知

那么通过移项可以得到

问题转化成证明式子（2）

引入极坐标定义

将（2）式展开

将（3）式代入得到

求和项拆开

变换i-1下标到i得到

现在需要证明式子（4）成立。基本思路是能够把两个三角函数加和转化成一个三角函数并且伴有半角的出现。通过翻阅资料找到以下几个公式。

tanα=sinα/cosα

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

继续化简

经过化简后，正好首尾相接抵消。

故原式得证。

证毕。

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