闪电彬彬

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2022/10/11阅读:8主题:全栈蓝

mean value coordinates(均值重心坐标)定义及证明

在图形学中对于物体的描述往往是离散,但是在具体展示过程中我们又希望是连续。线性插值是解决离散与连续的常用手段。

本文是针对多边形的插值

均值坐标定义

使得

证明mvc为广义重心坐标

要求证明式子(1)成立。

根据定义可知

那么通过移项可以得到

问题转化成证明式子(2)

引入极坐标定义

将(2)式展开

将(3)式代入得到

求和项拆开

变换i-1下标到i得到

现在需要证明式子(4)成立。 基本思路是能够把两个三角函数加和转化成一个三角函数并且伴有半角的出现。 通过翻阅资料找到以下几个公式。

tanα=sinα/cosα

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

继续化简

经过化简后,正好首尾相接抵消。

故原式得证。

证毕。


本人码农,希望通过自己的分享,让大家更容易学懂计算机知识。

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