决策树算法之ID3算法

适用范围

比较适合分析离散数据。如果是连续数据要先转成离散数据后再做分析。具体做法就是给连续的数据规定区间并打上标签。

信息熵的概念与计算

信息熵（entropy）的概念，它表示了信息的不确定度。在信息论中，随机离散事件出现的概率存在着不确定性。

设

X为某一随机事件
P(x)为随机事件的概率

例：假如有一个普通骰子A，扔出1-6的概率都是设X为正面朝上的点数，X的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。事件X的信息熵为：

ID3算法公式

计算信息增益 :

其中 :

就是关于事件D的信息熵。

问题引入

通过一个例子来讲解，如下图是调查买不买电脑和与其他因素的关系。目标是通过属性一定的信息推测这个人买不买电脑。

我们先来看age对是否buy的影响，首先对age进行分类可以分为三类，分别是youth，middle，senior。分析表中数据。可得总共14人，一共有9个yes，5个no。age中有youth、middle、senior分别对应2个yes、4个yes、3个yes和3个no、0个no、2个no。

下面公式表示总共14人，一共有9个yes，5个no。

下面公式表示age中有5个youth、4个middle、5个senior分别对应2个yes、4个yes、3个yes和3个no、0个no、2个no。

再根据如下公式以后可以计算得出：

再通过上述步骤计算得出其他属性的信息熵增益。

ID3决策树公式的理论理解

由此我们可以得知公式的具体含义为是父亲节点的信息熵减去所有子节点的信息熵。在计算的过程中，我们会计算每个子节点的归一化信息熵，即按照每个子节点在父节点中出现的概率，来计算这些子节点的信息熵。

ID3 算法计算的是信息增益，信息增益指的就是通过划分可以带来纯度的提高，信息熵的下降。计算完所有属性的信息增益,决策树会选择最大化信息增益来对结点进行一轮划分。因为 ID3 就是要将信息增益最大的节点作为父节点，这样可以得到纯度高的决策树。

划分决策树方法

第一轮划分确定根节点，可以计算得出最大，所有使用其作为根节点得到如下划分。

此时获得到3个表，进行如下步骤进行第2层叶子节点的计算：

判断子表的class属性是否完成一致
- 若一致则直接将该属性值作为叶子节点
- 若不一致则进行以下计算得出叶子节点
计算每个属性（不包括class）的信息熵增益
选择信息熵增益最大的属性作为一个叶子节点
然后完成同层所有叶子节点的确立
第二层决策树建立完毕

这里面的精髓是第一步的判断，它是整个递归的出口。其他层的建立与第2层一致，至此决策树理论建立成功。

实际决策树建立如下：

ID3决策树代码实现---Python

写代码以前，我们要先对数据进行预处理。

对数据集进行标注：

年龄：1->youth , 2->middle_aged , 3->senior
收入：1->high , 2->medium , 3->low
是否是学生： 1->是 , 2->否
信用等级: 1->fair , 2->excellent
是否购买：yes->买 , no->不买

代码

# -*- coding: UTF-8 -*-
from math import log
import operator

"""
函数说明:创建测试数据集
"""


def createDataSet():
    # 修改点 1
    dataSet = [[1, 1, 0, 1, 'no'],  # 数据集
               [1, 1, 0, 2, 'no'],
               [2, 1, 0, 1, 'yes'],
               [3, 2, 0, 1, 'yes'],
               [3, 3, 1, 1, 'yes'],
               [3, 3, 1, 2, 'no'],
               [2, 3, 1, 2, 'yes'],
               [1, 2, 0, 1, 'no'],
               [1, 3, 1, 1, 'yes'],
               [3, 2, 1, 1, 'yes'],
               [1, 2, 1, 2, 'yes'],
               [2, 2, 0, 2, 'yes'],
               [2, 1, 1, 1, 'yes'],
               [3, 2, 0, 2, 'no']]

    labels = ['年龄', '收入', '是否是学生', '信用等级']  # 分类属性
    return dataSet, labels  # 返回数据集和分类属性


"""
函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
Parameters:
    dataSet - 数据集
Returns:
    shannonEnt - 经验熵(香农熵)
"""


def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntires = len(dataSet)  # 返回数据集的行数
    labelCounts = {}  # 保存每个标签(Label)出现次数的字典
    for featVec in dataSet:  # 对每组特征向量进行统计
        currentLabel = featVec[-1]  # 提取标签(Label)信息
        if currentLabel not in labelCounts.keys():  # 如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1  # Label计数
    shannonEnt = 0.0  # 经验熵(香农熵)
    for key in labelCounts:  # 计算香农熵
        prob = float(labelCounts[key]) / numEntires  # 选择该标签(Label)的概率
        shannonEnt -= prob * log(prob, 2)  # 利用公式计算
    return shannonEnt  # 返回经验熵(香农熵)


"""
函数说明:按照给定特征划分数据集
Parameters:
    dataSet - 待划分的数据集
    axis - 划分数据集的特征
    value - 需要返回的特征的值
"""


def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet = []  # 创建返回的数据集列表
    for featVec in dataSet:  # 遍历数据集
        if featVec[axis] == value:
            reducedFeatVec = featVec[:axis]  # 去掉axis特征
            reducedFeatVec.extend(featVec[axis + 1:])  # 将符合条件的添加到返回的数据集
            retDataSet.append(reducedFeatVec)
    return retDataSet  # 返回划分后的数据集


"""
函数说明:选择最优特征
Parameters:
    dataSet - 数据集
Returns:
    bestFeature - 信息增益最大的(最优)特征的索引值
"""


def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1  # 特征数量
    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)  # 计算数据集的香农熵
    bestInfoGain = 0.0  # 信息增益
    bestFeature = -1  # 最优特征的索引值
    for i in range(numFeatures):  # 遍历所有特征
        # 获取dataSet的第i个所有特征
        featList = [example[i] for example in dataSet]
        uniqueVals = set(featList)  # 创建set集合{},元素不可重复
        newEntropy = 0.0  # 经验条件熵
        for value in uniqueVals:  # 计算信息增益
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)  # subDataSet划分后的子集
            prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))  # 计算子集的概率
            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)  # 根据公式计算经验条件熵
        infoGain = baseEntropy - newEntropy  # 信息增益
        print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain))  # 打印每个特征的信息增益
        if (infoGain > bestInfoGain):  # 计算信息增益
            bestInfoGain = infoGain  # 更新信息增益，找到最大的信息增益
            bestFeature = i  # 记录信息增益最大的特征的索引值
    return bestFeature  # 返回信息增益最大的特征的索引值


"""
函数说明:统计classList中出现此处最多的元素(类标签)
Parameters:
    classList - 类标签列表
Returns:
    sortedClassCount[0][0] - 出现此处最多的元素(类标签)
"""


def majorityCnt(classList):
    classCount = {}
    for vote in classList:  # 统计classList中每个元素出现的次数
        if vote not in classCount.keys():
            classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)  # 根据字典的值降序排序
    return sortedClassCount[0][0]  # 返回classList中出现次数最多的元素


"""
函数说明:递归构建决策树
Parameters:
    dataSet - 训练数据集
    labels - 分类属性标签
    featLabels - 存储选择的最优特征标签
Returns:
    myTree - 决策树
"""


def createTree(dataSet, labels, featLabels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]  # 取分类标签(是否放贷:yes or no)
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):  # 如果类别完全相同则停止继续划分
        return classList[0]
    if len(dataSet[0]) == 1:  # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的类标签
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)  # 选择最优特征
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]  # 最优特征的标签
    featLabels.append(bestFeatLabel)
    myTree = {bestFeatLabel: {}}  # 根据最优特征的标签生成树
    del (labels[bestFeat])  # 删除已经使用特征标签
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]  # 得到训练集中所有最优特征的属性值
    uniqueVals = set(featValues)  # 去掉重复的属性值
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]
        # 递归调用函数createTree(),遍历特征，创建决策树。
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels, featLabels)
    return myTree


"""
函数说明:使用决策树执行分类
Parameters:
    inputTree - 已经生成的决策树
    featLabels - 存储选择的最优特征标签
    testVec - 测试数据列表，顺序对应最优特征标签
Returns:
    classLabel - 分类结果
"""


def classify(inputTree, featLabels, testVec):
    firstStr = next(iter(inputTree))  # 获取决策树结点
    secondDict = inputTree[firstStr]  # 下一个字典
    featIndex = featLabels.index(firstStr)
    for key in secondDict.keys():
        if testVec[featIndex] == key:
            if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':
                classLabel = classify(secondDict[key], featLabels, testVec)
            else:
                classLabel = secondDict[key]
    return classLabel


if __name__ == '__main__':
    dataSet, labels = createDataSet()
    featLabels = []
    # myTree字典用于存储决策树
    myTree = createTree(dataSet, labels, featLabels)
    print(myTree)
    testVec = [2]  # 测试数据
    result = classify(myTree, featLabels, testVec)
    if result == 'yes':
        print('购买')
    if result == 'no':
        print('不购买')

输出结果：

第0个特征的增益为0.247
第1个特征的增益为0.029
第2个特征的增益为0.152
第3个特征的增益为0.048
第0个特征的增益为0.571
第1个特征的增益为0.971
第2个特征的增益为0.020
第0个特征的增益为0.020
第1个特征的增益为0.020
第2个特征的增益为0.971
{'年龄': {1: {'是否是学生': {0: 'no', 1: 'yes'}}, 2: 'yes', 3: {'信用等级': {1: 'yes', 2: 'no'}}}}
购买

Process finished with exit code 0

代码解析

这个算法的调用十分简单，只需要完成数据预处理后修改12行-27行即可运行。最后main中myTree字典用于存储这个决策树。

附决策树绘图代码---Python

调用十分简单，只需要修改决策树字典即可。

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义文本框和箭头格式
decisionNode = dict(boxstyle='sawtooth', fc='0.8')
leafNode = dict(boxstyle='round4', fc='0.8')
arrow_args = dict(arrowstyle='<-')
# 设置中文字体
font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)

"""
函数说明:获取决策树叶子结点的数目
Parameters:
    myTree - 决策树
Returns:
    numLeafs - 决策树的叶子结点的数目
"""


def getNumLeafs(myTree):
    numLeafs = 0  # 初始化叶子
    # python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性，
    # 可以使用list(myTree.keys())[0]
    firstStr = next(iter(myTree))
    secondDict = myTree[firstStr]  # 获取下一组字典
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':  # 测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点
            numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key])
        else:
            numLeafs += 1
    return numLeafs


"""
函数说明:获取决策树的层数
Parameters:
    myTree - 决策树
Returns:
    maxDepth - 决策树的层数
"""


def getTreeDepth(myTree):
    maxDepth = 0  # 初始化决策树深度
    # python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性，
    # 可以使用list(myTree.keys())[0]
    firstStr = next(iter(myTree))
    secondDict = myTree[firstStr]  # 获取下一个字典
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':  # 测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点
            thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key])
        else:
            thisDepth = 1
        if thisDepth > maxDepth:
            maxDepth = thisDepth  # 更新层数
    return maxDepth


"""
函数说明:绘制结点
Parameters:
    nodeTxt - 结点名
    centerPt - 文本位置
    parentPt - 标注的箭头位置
    nodeType - 结点格式
"""


def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):
    arrow_args = dict(arrowstyle="<-")  # 定义箭头格式
    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)  # 设置中文字体
    createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt, xycoords='axes fraction',  # 绘制结点
                            xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',
                            va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args, fontproperties=font)


"""
函数说明:标注有向边属性值
Parameters:
    cntrPt、parentPt - 用于计算标注位置
    txtString - 标注的内容
"""


def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString):
    xMid = (parentPt[0] - cntrPt[0]) / 2.0 + cntrPt[0]  # 计算标注位置
    yMid = (parentPt[1] - cntrPt[1]) / 2.0 + cntrPt[1]
    createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString, va="center", ha="center", rotation=30)


"""
函数说明:绘制决策树
Parameters:
    myTree - 决策树(字典)
    parentPt - 标注的内容
    nodeTxt - 结点名
"""


def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):
    decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8")  # 设置结点格式
    leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8")  # 设置叶结点格式
    numLeafs = getNumLeafs(myTree)  # 获取决策树叶结点数目，决定了树的宽度
    depth = getTreeDepth(myTree)  # 获取决策树层数
    firstStr = next(iter(myTree))  # 下个字典
    cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs)) / 2.0 / plotTree.totalW, plotTree.yOff)  # 中心位置
    plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt)  # 标注有向边属性值
    plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode)  # 绘制结点
    secondDict = myTree[firstStr]  # 下一个字典，也就是继续绘制子结点
    plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0 / plotTree.totalD  # y偏移
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':  # 测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点
            plotTree(secondDict[key], cntrPt, str(key))  # 不是叶结点，递归调用继续绘制
        else:  # 如果是叶结点，绘制叶结点，并标注有向边属性值
            plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0 / plotTree.totalW
            plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)
            plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key))
    plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0 / plotTree.totalD


"""
函数说明:创建绘制面板
Parameters:
    inTree - 决策树(字典)
"""


def createPlot(inTree):
    fig = plt.figure(1, facecolor='white')  # 创建fig
    fig.clf()  # 清空fig
    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])
    createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)  # 去掉x、y轴
    plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree))  # 获取决策树叶结点数目
    plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree))  # 获取决策树层数
    plotTree.xOff = -0.5 / plotTree.totalW;
    plotTree.yOff = 1.0;  # x偏移
    plotTree(inTree, (0.5, 1.0), '')  # 绘制决策树
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    mytree = {'年龄': {1: {'是否是学生': {0: 'no', 1: 'yes'}}, 2: 'yes', 3: {'信用等级': {1: 'yes', 2: 'no'}}}}
    createPlot(mytree)

参考文章 :

[1] 01---决策树算法--ID3 - 知乎

[2] 02---决策树算法ID3算法(Python3实现)