宫水三叶的刷题日记

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2022/06/21阅读:6主题:前端之巅同款

【综合笔试题】难度 2.5/5 :「树状数组」与「双树状数组优化」

题目描述

这是 LeetCode 上的 1395. 统计作战单位数 ,难度为 中等

Tag : 「树状数组」、「容斥原理」

n 名士兵站成一排。每个士兵都有一个 独一无二 的评分 rating

个士兵可以组成一个作战单位,分组规则如下:

  • 从队伍中选出下标分别为 ijk 名士兵,他们的评分分别为

  • 作战单位需满足: 或者 ,其中 

请你返回按上述条件可以组建的作战单位数量。每个士兵都可以是多个作战单位的一部分。

示例 1:

输入:rating = [2,5,3,4,1]

输出:3

解释:我们可以组建三个作战单位 (2,3,4)、(5,4,1)、(5,3,1) 。

示例 2:

输入:rating = [2,1,3]

输出:0

解释:根据题目条件,我们无法组建作战单位。

示例 3:

输入:rating = [1,2,3,4]

输出:4

提示:

  • rating 中的元素都是唯一的

基本分析

为了方便,我们记 ratingrs

题目本质是要我们统计所有满足「递增」或「递减」的三元组。换句话说,对于每个 而言,我们需要统计比其 大或比 小的数的个数。

问题涉及「单点修改(更新数值 的出现次数)」以及「区间查询(查询某段范围内数的个数)」,使用「树状数组」求解较为合适。

树状数组 - 枚举两端

一个朴素的想法是,对于三元组 ,我们枚举其两端 ,根据 的大小关系,查询范围 之间合法的数的个数。

在确定左端点 时,我们从 开始「从小到大」枚举右端点 ,并将遍历过程中经过的 添加到树状数组进行计数。

处理过程中根据 的大小关系进行分情况讨论:

  • 时,我们需要在范围 中找「大于 」同时「小于 」的数的个数,即 query(b - 1) - query(a)
  • 时,我们需要在范围 中找「小于 」同时「大于 」的数的个数,即 query(a - 1) - query(b)

一些细节:显然我们需要在枚举每个左端点 时清空树状数组,但注意不能使用诸如 Arrays.fill(tr, 0) 的方式进行清空。

因为在没有离散化的情况下,树状数组的大小为 ,即执行 Arrays.fill 操作的复杂度为 ,这会导致我们计算量为至少为 ,会有 TLE 风险。

因此一个合适做法是:在 范围内枚举完 后(进行的是 +1 计数),再枚举一次 进行一次 -1 的计数进行抵消。

代码:

class Solution {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int[] tr = new int[N];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int x, int v) {
        for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public int numTeams(int[] rs) {
        int n = rs.length, ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = rs[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int b = rs[j];
                if (a < b) ans += query(b - 1) - query(a);
                else ans += query(a - 1) - query(b);
                update(b, 1);
            }
            for (int j = i + 1; j < n; j++) update(rs[j], -1);
        }
        return ans;
    }
}
  • 时间复杂度:令 为值域大小,整体复杂度为
  • 空间复杂度:

双树状数组优化 - 枚举中点

我们考虑将 的数据范围提升到 该如何做。

上述解法的瓶颈在于我们枚举三元组中的左右端点,复杂度为 ,而实际上利用三元组必然递增或递减的特性,我们可以调整为枚举终点 ,从而将「枚举点对」调整为「枚举中点」,复杂度为

假设当前枚举到的点为 ,问题转换为在 有多少比 小/大 的数,在 有多少比 大/小 的数,然后集合「乘法」原理即可知道 作为三元组中点的合法方案数。

统计 左边的比 大/小 的数很好做,只需要在「从小到大」枚举 的过程中,将 添加到树状数组 tr1 即可。

对于统计 右边比 小/大 的数,则需要通过「抵消计数」来做,起始我们先将所有 加入到另外一个树状数组 tr2 中(进行 +1 计数),然后在从前往后处理每个 的时候,在 tr2 中进行 -1 抵消,从而确保我们处理每个 时,tr1 存储左边的数,tr2 存储右边的数。

代码:

class Solution {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int[] tr1 = new int[N], tr2 = new int[N];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int[] tr, int x, int v) {
        for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
    }
    int query(int[] tr, int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public int numTeams(int[] rs) {
        int n = rs.length, ans = 0;
        Arrays.fill(tr1, 0);
        Arrays.fill(tr2, 0);
        for (int i : rs) update(tr2, i, 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = rs[i];
            update(tr2, t, -1);
            ans += query(tr1, t - 1) * (query(tr2, N - 1) - query(tr2, t));
            ans += (query(tr1, N - 1) - query(tr1, t)) * query(tr2, t - 1);
            update(tr1, t, 1);
        }
        return ans;
    }
}
  • 时间复杂度:令 为值域大小,整体复杂度为
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1395 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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