1. 题目

选自北京大学2021强基数学真题

设 是与 的差的绝对值最小的整数， 是与 的差的绝对值最小的整数，记 前 项和为 ， 前 项和为 ，则 的值为？

2. 解答

容易知道， 及 绝对不可能写成 的形式（因为对于 ， 的小数部分一定是0.25，而 的小数部分只能是0或0.5，而 的小数部分只能是0）.由此保证了 及 的唯一性（对于任意 ， 及 均不可能落在两个相邻整数的正中间位置）。

设 （ ），则有：

化简得：

由于 是整数，因此区间 中共有 个整数。即，满足 的 共有 个。

设 ，则容易知道， 且

因此：

同理，设 （ ），则有：

化简得：

由于 是整数，因此 以及 是偶数，则 及 均是整数。因此区间 中共有 个整数。即，满足 的 共有 个。

设 ，则容易知道， 且

因此：

因此有：

3. 题目变形

问题： 设 是与 最接近的整数，记 为 的前 项和，求 的值？

解答：

容易知道，对于任意的 ， 均不可能落在两个相邻整数的正中间位置。

记 （ ），则有：

因此有：

由于 与 均是整数，因此区间 中共有 个整数，即，满足 的 共有 个。

记 ，则 ，且 ，因此：