傲天居士

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2022/10/01阅读:33主题:默认主题

一类强基数列题目的探讨

1. 题目

选自北京大学2021强基数学真题

是与 的差的绝对值最小的整数, 是与 的差的绝对值最小的整数,记 项和为 项和为 ,则 的值为?

2. 解答

容易知道, 绝对不可能写成 的形式(因为对于 的小数部分一定是0.25,而 的小数部分只能是0或0.5,而 的小数部分只能是0).由此保证了 的唯一性(对于任意 均不可能落在两个相邻整数的正中间位置)。

),则有:

化简得:

由于 是整数,因此区间 中共有 个整数。即,满足 共有 个。

,则容易知道,

因此:

同理,设 ),则有:

化简得: 由于 是整数,因此 以及 是偶数,则 均是整数。因此区间 中共有 个整数。即,满足 共有 个。

,则容易知道,

因此:

因此有:

3. 题目变形

问题: 是与 最接近的整数,记 的前 项和,求 的值?

解答:

容易知道,对于任意的 均不可能落在两个相邻整数的正中间位置。

),则有:

因此有:

由于 均是整数,因此区间 中共有 个整数,即,满足 共有 个。

,则 ,且 ,因此:

分类:

数学

标签:

数学

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