11.24

求三角有理函数的不定积分

近日，有同学问了这样一道题：

这道积分题，实际上是计算三角有理函数的不定积分。而且函数一类比较特殊的三角有理函数的积分，即：求被积函数的分子、分母为 ， 的线性组合的不定积分。

下面，我把这个问题作一般化来处理：

问题 1：计算不定积分

其中， 均为常数.

分析：这种问题最简答的处理方法是，将分子配凑成两部分：一部分是分母的自己；另一部分是分母的导数。即令

其中 为待定常数. 可通过比较上述等式两边关于 ， 的系数确定。具体地

根据待定系数法，联立方程组

解得参数

这样就可以得到上述不定积分的结果了，即：

好了，当我们掌握了这一类积分的解决办法，那么接下来，我们就一起把这位同学的问题给解决吧.

问题 2：计算不定积分

分析：令

根据待定系数法，联立方程组

解得

于是

解决了这位同学的问题，我再给同学们补充一道同类型的题：

问题 3： 计算不定积分

分析：这里的 ， ， ， ，我们可以直接用上述公式，即

故

或者 再用之前的分析过程，具体如下：令

比较等式两端的系数，根据待定系数法，联立方程组

解得

故

如果遇到不会的问题及时来提问，说不定下期文章的问题就是你提出来的。

好了，本次的话题就到这个地方吧，同学们，再会！