如何优雅地背营销？

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0 起因

前些日子背营销背麻了．

于是决定计算一下到底如何背营销才是最有效率的．

当然，我们需要一个定义效率的方法．

一个自然的定义是考虑花费的总时间．具体而言，是考虑花费时间的现值．

我们还需要刻画产出，也就是记忆量随投入时间的关系．特别地，我们必须考虑到投入的边际产出递减（也就是越背越背不动）．

一个套路化的选择是采用柯布－道格拉斯生产函数．

最后，我们还需要刻画背下来的东西随时间的遗忘．

根据艾宾浩斯遗忘曲线可知记忆留存量随时间呈指数级下降的变化．因此，假定一个单位时间的遗忘比例恒定是合理的．

至此，我们可以建构出第一个模型．

1 记忆－遗忘模型

我不会变分法，无法求解积分约束条件下的最优化问题，因此只能建立一个有限期的离散模型．

1.1 设定

• 今天是第 天，第 天考试，考试当天的目标记忆量为 ．总知识量远大于 ，不会出现背无可背的情况．
• 从第 天开始背，背到第 天，考试当天不背．
• 每天的记忆量 关于当天花费时间 的关系为标准化后的柯布－道格拉斯函数 ．
• 折现率为 ，每过 天的遗忘比例为 ．
• 单位时间的成本是 ．
• 每天的记忆时间充分多，不考虑角点解（如果愿意，每天可以背 25 个小时）．
• 遗忘的内容与还没背到内容完全等同．

我知道大家会疯狂吐槽最后一条多么不符合现实，但是毕竟是个基础模型，这么假设比较好算．

1.2 建立和求解模型

首先我们写出最优化问题：

我们需要在给定最终记忆量等于 的前提下最小化所需时间的现值．

模型的求解是套路化的．我们首先写出拉格朗日函数 ：

然后写出一阶条件：

是 First Order Condition 的简写．

然后就是紧张刺激的求解环节．一些简单的计算：

我们发现 是一个常数乘以一个 的函数的形式．因此，记忆量约束（即最优化问题中 后面的部分）中的每一项也应当有这样的形式．这样一来我们就可以确定它们各自占 的份额，进而得到最终答案．

记记忆量约束中的项为 ，再稍加计算：

于是我们知道， 以等比数列的形式按比例分走了 ：

这样我们就解出了每个 的具体值．进而得到 的最终解：

这也就是这个模型给出的每天应该花费多少时间背诵的建议．

1.3 代入数值

上面的结果非常不直观．于是我决定打开 Excel，随便代入一组参数，定性地看看它到底给出了什么结论．取如下参数：

• ．总投入中有一半是时间．
• ．如果不复习，每天忘一半．（这甚至有可能是乐观估计…）
• ．每天 的折现率．这看起来有点大，但我私下测试发现，只要折现率在 以下，这个模型给出的结果不会有太大差异．
• ， ．我们知道最终的结果是记忆量的某个按比例划分，因此可以把记忆量标准化成 ．（但真的有人提前十天背营销吗？）

在这样的参数组合下，我们的记忆－遗忘模型给出了如下结果：

1	0.0000	0.0025
2	0.0000	0.0050
3	0.0001	0.0103
4	0.0004	0.0209
5	0.0018	0.0427
6	0.0076	0.0872
7	0.0316	0.1778
8	0.1316	0.3628
9	0.5477	0.7401
10	2.2795	1.5098

也就是说，我们的模型给出的最佳方案是：

临时抱佛脚！
（掌声）

前五天几乎不背，最后两天狂背．每一天需要记忆的量几乎是前一天的两倍．

值得一提的是，前两天的 并不是 ，但它们太小了．

如果我们认为 单位时间等同于 小时（乐观估计的背完全部内容所需的时间）的话，那么这个表格相当于：

1	0.2 秒
2	1 秒
3	4 秒
4	16 秒
5	1 分钟
6	4 分半
7	20 分钟
8	1 小时 20 分钟
9	5 小时 20 分钟
10	23 小时

因为背的内容会被忘记，所以为了在考试当天保持目标记忆量，所需的时间远超一天背完所需的时间．

如果把 延长到 天，情况会有改观吗？

1	0.0000	0.0038
2	0.0000	0.0052
3	0.0000	0.0070
4	0.0000	0.0095
5	0.0000	0.0129
6	0.0000	0.0175
7	0.0000	0.0238
8	0.0000	0.0323
9	0.0000	0.0438
10	0.0001	0.0595
11	0.0002	0.0808
12	0.0006	0.1096
13	0.0017	0.1488
14	0.0048	0.2020
15	0.0134	0.2742
16	0.0371	0.3721
17	0.1026	0.5051
18	0.2842	0.6857
19	0.7871	0.9307
20	2.1794	1.2633

可见，答案是并不会．由于记忆量随时间是指数级增长的，因此就算早做打算，也还是会浪到考前最后一刻才开始发力．

顺便，如果把 改为 ，结果是这样的：

1	0.0006	0.0251
2	0.0013	0.0365
3	0.0028	0.0533
4	0.0060	0.0776
5	0.0128	0.1131
6	0.0271	0.1648
7	0.0576	0.2401
8	0.1224	0.3498
9	0.2598	0.5098
10	0.5517	0.7428

而如果把 改为 ，结果是这样的：

1	0.0002	0.0808
2	0.0006	0.1096
3	0.0017	0.1488
4	0.0048	0.2020
5	0.0134	0.2742
6	0.0371	0.3722
7	0.1027	0.5052
8	0.2843	0.6857
9	0.7872	0.9307
10	2.1797	1.2633

从 的变化可以看出，如果你背书总是背一会儿就背不下去了，效率低下，或者你记忆力不错，背过一遍之后忘记的比较少，那么推荐你还是早点开始背为好．

虽然都逃不过临时抱佛脚的宿命．

1.4 反思

早知道要临时抱佛脚，为什么还会有人建议尽早准备呢？

这是因为，早背可以早复习．复习此前背过的东西比新背东西要快得多，复习过的东西遗忘速度也会大大减慢．

因此，将复习引入模型是十分有必要的．

于是，我们可以着手建立第二个模型．

2 带有复习的两期记忆模型

但是我发现，引入复习之后，模型的求解一下子变得困难了起来。因为复习量必定小于已经背过的内容量，而这是一个不等式约束，直接应用拉格朗日乘数法很容易得到复习超过了可复习的量的无效解．

此外，第一天背的在第几天复习、复习多少比例，理论上都是可以自行决定的量．全部加入会使模型过于复杂．

因此，我退而求其次，从简单情况入手，建立一个两期模型．后续我们将看到，就算是两期模型，也是富有启发性的．

2.1 设定

• 两期新记忆的内容量分别为 和 ，目标记忆量为 ．总知识量远大于 ，不会出现背无可背的情况．
• 第 期在记忆 前，需要先复习 ．
• 由于复习的是旧内容，其等效记忆量相当于 倍的新内容．
• 复习的内容不会被忘记，未复习的内容会有 的比例被忘记．
• 记忆 单位内容所需时间为 ．
• 单位时间的成本是 ，折现率为 ．

注意到复习忘记的内容相比记忆新内容有等效记忆量小、后续不会再遗忘两个绝对优势，因此第二天同等时间条件下最效率的做法几乎总是优先复习，如果还有时间则背新内容．所以简单起见，在这个模型中强制要求第二天复习第一天的全部内容．

还应当指出的是，复习的内容如果会按照某一个小于 的比例 被忘记，则最终的记忆量将会变成 ，也即 ．这里的 是复习内容的有效遗忘率．若将原模型中的 解释作此有效遗忘率，则模型给出的最优的 与 的比例关系不会发生变化，只是最终记忆量改变了一个常数倍．因此， 复习后不会被遗忘的假设是合理且普适的．

2.2 建立和求解模型

按照流程，首先写出最优化问题：

由于只有两期，因此无需再用拉格朗日乘数法，直接将记忆量约束代入时间成本函数：

写出一阶条件：

求解一阶条件：

一些枯燥乏味的计算（中间使用了换元法简化计算）之后，我们得到了 与 的解：

和第一个模型一样， 和 都是 的某个倍数．

2.3 代入数值

为了对比两个模型给出的结果，我们代入如下参数组合：

• ． 是 的倒数．
• ．
• ．
• ．复习的等效记忆量为等量新内容的一半．
• ．

此处的参数组合除了 仍设为 以外，其余参数均按照 期等于 天进行了粗略换算．

这样的参数组合给出了如下结果：

1	0.8955	0.8020
2	0.2090	0.4313

可以看出，结论一下子就反转了．在此我用同样醒目的格式写出这一结论：

早背早复习！
（同样热烈的掌声）

我们同之前一样，改变一下参数组合．

如果把 降低到 ，结果是这样的：

1	0.9815	0.9723
2	0.0371	0.3835

如果把 降低到 ，结果是这样的：

1	0.8521	0.7261
2	0.2957	0.3040

可以看出，如果背东西的效率比较低，或者复习的效率比较高，则可以先不用一下子背那么多．但是由于复习效率的提升，在整体耗时下降的情况下，实际上第一期与第二期花费的时间之比反而有所上升．

此前我没有把 按照 天 期进行折算．那么，让我们来看看，如果把 也按照 期等于 天进行折算，代入 ，也就是 会发生什么：

1	1.0000	1.0000
2	0.0000	0.2500

我们触碰到了角点解．此时模型建议在第一期背完，第二期纯复习．可以说，这个建议才是这个模型在与第一个模型相同的条件下给出的真正的建议．

当 这样取值时，只有 ，才能让模型取到内点解．也就是说，只有你能以 左右的等效记忆量这样极高的效率复习，且复习之后永远不忘，才可以在第一期不背完全部内容．

2.4 两种模型的对比

在第一个模型中取 ，其余参数与这个模型最初带入的参数一致，对比第 期视角下时间成本的现值，可以下面的结果．

记忆－遗忘模型：

1	0.7407	0.5487
2	1.6296	2.6557

带有复习的两期记忆模型：

1	0.8955	0.8020
2	0.2090	0.4313

时间成本现值 ：

记忆－遗忘模型	带有复习的 两期记忆模型
2.9630	1.1940

复习的作用不言自明．

3 总结与展望

两种模型给出了两种截然不同的结论，各有各的道理．

如果你没有背完之后复习的习惯，那么或许临时抱佛脚，靠短期记忆取胜就是最优策略．

但是如果你肯花时间复习，那么虽然需要提前背，还需要一段时间之后复习，但是这看上去冗余的过程反倒会提升记忆效率，事半功倍．

两种策略，生活中都有人在使用．对于特定的人而言，孰优孰劣，既是效率的问题，也是适应与习惯的问题．虽然模型给出了这样的结果，但现实中并非对于每个人而言复习都严格优于短期记忆法，还需各自权衡．

我个人一般还是会提前背、反复复习的．不知道大家如何？

这两个模型只是短时间内我能想出来、解出来的充分简化了的模型．实际上这个问题还是相当值得进一步研究的．如果期末组管或者营销又背麻了，我可以试着推一推更加复杂、更加贴合实际的模型．

但我希望我不要再背麻了．