伊藤积分与交易策略

随机积分有多种定义方式，其中伊藤积分在金融中有广泛的应用，原因是其较能描述现实情形，同时具有优良的理论性质。伊藤积分是一个随机过程（记为 )关于布朗运动(记为 )的积分，其定义如下（左滑可查看完整公式）：

其中 是对 的一个剖分， 是这个剖分的步长。

这个定义有两个要点需要注意：

• 是一个关于 截止到时间 积累的信息集 的适应过程，这有点抽象，简单来说就是，对于任意时间 , 截止到时间 的样本路径足够决定 的值，或者说 是 的函数。
• 在伊藤积分定义的右边，对于任意一个求和区间 ，我们始终使用 在左端点也就是 的值。

假如 描述的是某个金融资产的价格，而 代表一个交易策略（即在时间 ，持有 这么多资产)，那么伊藤积分定义右边的每一个求和项 代表的是在时间 内的收益或亏损（PnL），而伊藤积分代表的意义则是该交易策略截止到时间 的累计收益或亏损。

在金融模型里，我们自然地要求交易策略 的制定不能用到未来的信息（否则轻易就能产生无穷收益），换句话说也就是过去的信息（ 截止到时间 的样本路径）应足以确定 ，而且计算收益亏损只能用 在每个时间区间左端点的值。