刘玉记

V1

2022/03/07阅读:24主题:红绯

22暨大数分

2022年暨南大学数学分析考研试题

题目一:计算题

  • (1)求极限
  • (2)设 ,求 .

  • (3)求 .

  • (4)求抛物面 , 以及 围成闭区域的体积。

  • (5)判断级数 的敛散性。

  • (6)求幂级数 的收敛半径,并求和函数。

  • (7)求极限 .

  • (8)求 使得

时为 的4阶无穷小。

  • (9)设 是立体 的表面,取外侧方向,计算
  • (10)验证积分

与路径无关,并求积分值。

题目二:证明题

  • (1)设 不是整数的实数,利用 的傅里叶级数证明
  • (2)设 在区间 上连续,证明
  • (3)设 连续,证明 上逐点收敛,且 上一致收敛的充分必要条件是 .

  • (4)证明 时成立

题目三:分析题,设

为何值时 上连续,在 可微。

2022年暨南大学数学分析考研试题参考答案(对答案,对做题方法)

题目一:计算题

  • (1)求极限

解: 幂指函数求极限套路

【解题完毕】

注记: 如果 ,则

  • (2)设 ,求 .

解: 根据 的麦克劳林公式

得到

所以

所以

因此

【解题完毕】

  • (3)求 .

解:

所以

另外

综上得到

解得到

【解题完毕】

  • (4)求抛物面 , 以及 围成闭区域的体积。

解: 该几何体课题看作是 在 面上曲线 围成的平面区域绕 轴旋转一周形成的几何体,如图

【解题完毕】

  • (5)判断级数 的敛散性。

解: 因为

所以

因此

所以

所以

由于 收敛,所以级数 收敛。【解题完毕】

注记: 讨论级数 的敛散性。

  • (6)求幂级数 的收敛半径,并求和函数。

解: ,考虑幂级数 ,则系数

计算

所以幂级数