2022年暨南大学数学分析考研试题

题目一：计算题

• (1)求极限

• (2)设 ,求 .

• (3)求 .

• (4)求抛物面 , 以及 围成闭区域的体积。

• (5)判断级数 的敛散性。

• (6)求幂级数 的收敛半径，并求和函数。

• (7)求极限 .

• (8)求 使得

在 时为 的4阶无穷小。

• (9)设 是立体 的表面，取外侧方向，计算

• (10)验证积分

与路径无关，并求积分值。

题目二：证明题

• (1)设 不是整数的实数，利用 的傅里叶级数证明

• (2)设 在区间 上连续，证明

• (3)设 在 连续，证明 在 上逐点收敛，且 在 上一致收敛的充分必要条件是 .

• (4)证明 时成立

题目三：分析题，设

问 为何值时 在 上连续，在 可微。

2022年暨南大学数学分析考研试题参考答案（对答案，对做题方法）

题目一：计算题

• (1)求极限

解： 幂指函数求极限套路

【解题完毕】

注记： 如果 ,则

• (2)设 ,求 .

解： 根据 的麦克劳林公式

得到

所以

所以

因此

【解题完毕】

• (3)求 .

解： 令

则

所以

另外

则

综上得到

解得到

【解题完毕】

• (4)求抛物面 , 以及 围成闭区域的体积。

解： 该几何体课题看作是 在 面上曲线 及 围成的平面区域绕 轴旋转一周形成的几何体，如图

【解题完毕】

• (5)判断级数 的敛散性。

解： 因为

所以

因此

所以

而

所以

由于 收敛，所以级数 收敛。【解题完毕】

注记: 讨论级数 的敛散性。

• (6)求幂级数 的收敛半径，并求和函数。

解： 令 ,考虑幂级数 ,则系数

计算

所以幂级数