傲天居士

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2022/05/04阅读:25主题:默认主题

光的折射定律与最速曲线

“胡不归”问题

中考数学常出现“胡不归”问题。例如小明将要从A点前往B点,途径一条道路(记为C,忽略道路宽度,近似看成一条直线),在道路的上方,小明速度是 ;道路下方,小明速度是 。已知小明起点A到道路C的竖直距离是 ,终点B到道路C的竖直距离是 , 且A与B之间的水平距离为 。求使得小明用时最短的路径。

我们不妨从A、B两点分别向直线C作垂线,垂足分别是 , .容易知道,小明的最短路径一定满足一下条件:

  1. 从A点到直线C的路径是直线,从直线C到B点的最短路径也是直线。
  2. 不妨设小明路径与直线C交点为P,则P一定在 , 之间。

有了上面的分析,我们不妨设 ,则 。设用时为 ,因此有:

得:

我们不妨记满足 的点 ,过 作直线 的垂线,记为 。设 与直线 之间的夹角为 与直线 之间的夹角为 。则上式可以进一步写成:

观察上式我们不难得出,满足用时最短的路径具有与“光的折射定律”相同的数学规律。这也隐含着一个哲学命题:光在介质中的传播路径遵循用时最短的原则。这又被称为“最短时间原理”或“费马原理”。

最速问题

如图所示,竖直平面有固定的A、B两点。其中A、B之间的竖直高度为 。设有一小球从A点沿光滑的固定轨道下落到B点,小球的初始速度为0。请问用时最短的路径是哪一条?(忽略空气阻力,假设轨道形状满足的条件保证小球在运动过程中不会脱离轨道)

我们继续上一节的探讨。由费马原理可知,用时最短的路径满足

我们设用时最短的路径上任意一点到A点的竖直距离为 ,速度为 ,且速度 与数值方向夹角为 。结合费马原理,运用微元法的基本思想,我们不难得出用时最短的路径满足如下关系:

其中 表示常数。

由动能定理得 ,由几何关系可得

因此,我们不难得出,用时最短的路径轨迹存在满足如下特征:

其中 是常数。那么满足 的曲线是什么形状呢?我们知道摆线的参数方程为:

上述摆线的参数方程表示一个半径为 的圆沿着一条直线滚动时,圆上某一点形成的轨迹。由上述参数方程可知:

则有:

因此可得,摆线方程满足用时最短的路径。且由摆线的形状可知,小球在运动过程中一定不会脱离轨道。

注:最速曲线最早由伽利略率先提出,后由约翰·伯努利、莱布尼兹、牛顿等求得最速曲线的形状为摆线

分类:

数学

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