布朗桥（Brownian Bridges）

在建立某个随机动力过程时，我们虽然希望其随机性尽可能大，但又要防止它的范围过分扩张。通过使用合适的约束手段，我们可以达到这一目的，Brownian bridge 是其中之一。

本文的开源代码可见我的 ObservableHQ 笔记本

Brownian Bridges^[1]

布朗桥（Brownian Bridges）^[2]
- Brownian Bridges 基础原理和特性^[3]
- Brownian Bridges 的形象绘图^[4]

Brownian Bridges 基础原理和特性

布朗桥（Bronian Bridges）的特性在下文中介绍得比较清楚，可以理解为在随机游走过程中，每隔一段时间就回归到零点的路径的集合。注意到英文中的 Bridges 了吗，这个复数的格就代表一段连续的随机游走路径中，可以存在无数的在特定时间长度后，“恰好”回归到零点的路径片段，这些片段统称为布朗桥。

A Brownian bridge can be defined as standard Brownian motion conditioned on hitting zero at a fixed future time T, or as any continuous process with the same distribution as this. Rather than conditioning, a slightly easier approach is to subtract a linear term from the Brownian motion, chosen such that the resulting process hits zero at the time T. This is equivalent, but has the added benefit of being independent of the original Brownian motion at all later times.

Brownian Bridges^[5]

布朗桥的较严谨的数学表达式如下

其中，分别代表某一个时刻和时间片段的总时间，代表服从特定分布的随机变量，不同时刻之间的随机变量相互独立。进一步地，它还具有比较好的特性，那就是在不同桥上的随机游走过程相互独立

在证明过程中，我们用到了这样一个结论，那就是随机游走过程的方差随时间增长而不断变大，并且正比于经过的时间长度

证明毕。

Brownian Bridges 的形象绘图

我在 ObservableHQ 上提供了相应的样例，在绘制时间序列图的基础上还进行了 PCA 分析。

Brownian Bridges^[6]

时间序列图

PCA 分析的方法是将各个时间段看作是同一对象的不同维度，以下图为例，我将整个序列切分为段，每段包含个时间点，将每一段看作是一座布朗桥，对它们进行排列成为的矩阵。接下来对该矩阵进行 PCA 分解。由于其前两个主成分的能量分别占总能量的，由于其占比较大，因此选择前两个主成分对全部个样本进行表示，按照时间先后进行染色绘制 PCA 对比图，从图中可以看到，与原始随机游走相比（上图）布朗桥方法（下图）有效地限制了随机游走的动态范围。

对比图

对比图-PCA

参考资料

[1]

Brownian Bridges: https://observablehq.com/@listenzcc/brownian-bridges

[2]

布朗桥（Brownian Bridges）: #布朗桥brownian-bridges

[3]

Brownian Bridges 基础原理和特性: #brownian-bridges-基础原理和特性

[4]

Brownian Bridges 的形象绘图: #brownian-bridges-的形象绘图

[5]

Brownian Bridges: https://almostsuremath.com/2021/03/29/brownian-bridges/

[6]

Brownian Bridges: https://observablehq.com/@listenzcc/brownian-bridges