人口红利

姜文电影有一句名言

我就是为了这碟醋，才包的这顿饺子。

我让 ChatGPT 给我编了一段解释兰彻斯特方程的代码，于是我给它加了一个可视化的壳，现在已经说不清谁是饺子谁是醋了。代码可见我的前端笔记本

The Lanchester function explaining by ChatGPT^[1]

人口红利

兰彻斯特方程

兰彻斯特方程是著名的数学方程在军事冲突中的应用案例。而我想让 AI 帮我弄明白这个东西。

Lanchester's laws are mathematical formulae for calculating the relative strengths of a predator/prey pair. This article is concerned with military forces.

Lanchester's laws | Military Wiki | Fandom^[2]

ChatGPT 给我的

先卖关子说一个哲学问题，那就是

什么问题是适合让 AI 替我们去做的？

我在这里大胆地认为，世上问题可以分为两类，一类是生成答案很难，但验证答案的正确性却很简单的；另一类是无论什么答案，验证答案的正确性却十分困难。在这里举个简单的例子，

哥德巴赫 1742 年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于 2 的整数都可写成三个质数之和。

那么，对于任意一个大于 2 的整数，我们可以放心地让 AI 去寻找一组解。而验证这组解的正确性非常简单，看它们是否均为质数，且其和是否正确即可。此为第一类问题。

然而，如果要问这组解是否是唯一的，或者如何能够找到全部符合条件的解，那么无论 AI 给出怎样的解集，我们验证解集完备性的困难都是相当大的。此为第二类问题。

目前，我认为第一类问题大概属于康德的”分析判断“，第二类问题大概属于他的”综合判断“。回到上面的问题，由于解的完备性不能够内涵于解的正确性，因此完备性是”综合“到正确性之上的外部概念，这导致难以证实它。

进一步来说，AI 适用于解决第一类问题，因为所需证明的概念是在命题之中的，在提出问题时，验证方法也立即确定了。而 AI 不适合解决的是第二类问题，因为它需要借助其他的证据，而验证过程往往也难以获得实证的证据。

而当我向 ChatGPT 提问兰彻斯特方程，并进行一些迭代后，它给我返回了这样一段代码。这段代码用于根据兰彻斯特方程模拟一场战斗，并给出胜利者和他幸存的兵力。验证这段代码”很简单“，只要它能通过一些测试用例即可。而要通过它来解释一些问题，则开始进入第二类问题的领域。

/*
Sure! The Lanchester function is a mathematical model that describes the relationship between the size of two opposing forces and their relative strength. The function takes the form of:

S1 / S2 = (B1 / B2) ^ (1/a)

Where:

- S1 is the size of force 1
- S2 is the size of force 2
- B1 is the strength of force 1
- B2 is the strength of force 2
- a is a constant that represents the relative efficiency of the two forces

Here is a JavaScript function that demonstrates the Lanchester function:
*/
function simulateBattle(s1, s2, b1, b2, a) {
    // Initialize the size of each force
    let size1 = s1;
    let size2 = s2;

    // Simulate the battle until one side loses
    while (size1 > 0 && size2 > 0) {
        // Calculate the relative strength of each force
        let strength1 = Math.pow(b1 / b2, 1 / a);
        let strength2 = Math.pow(b2 / b1, 1 / a);

        // Calculate the number of units lost by each force
        let loss1 = strength2 * size2;
        let loss2 = strength1 * size1;

        // Update the size of each force
        size1 -= loss1;
        size2 -= loss2;
    }

    // Return the winner and the final size of each force
    if (size1 <= 0 && size2 > 0) {
        return ["force 2", size2];
    } else if (size2 <= 0 && size1 > 0) {
        return ["force 1", size1];
    } else {
        return ["tie", 0];
    }
}

// Example usage:
console.log(simulateBattle(100, 200, 2, 1, 2)); // Outputs: ["force 2", 100]

开席

这里饺子开始蘸醋啦。简单来说，我给它配了一个前端的壳，将它的结果进行大量模拟，形成了胜负和幸存数量图。图中横坐标代表部队 2 与部队 1 的数量关系（s2 值），其中部队 1 的数量始终为 100；图中纵坐标代表部队 2 与部队 1 的战力关系（b2 值），其中部队 1 的战力始终为 1.0；图中点的颜色代表获胜方，而大小代表获胜时幸存部队数量。

Simulation-grid

我按照部队 1 的数值情况将图分为 4 个象限，第一象限和第三象限分别代表部队 1 和部队 2 在数量和战力两个数值上均占绝对优势的情况。结果并不出人意料，在第一和第三象限中部队 1 和 2 分别完胜对方。

有意思的是另外两个象限，第二象限代表部队 2 的战力高于部队 1，但数量少；第四象限代表部队 2 的数量高于部队 1，但战力低。从获胜方的分布来看，部队 2 在第四象限的胜算更大，这说明数量上的压制效果大于质量上的优势。这即是所谓”人口红利“。

Simulation-curve

在进一步分析中，我将不同的 s2 和 b2 值单独以线条的形式绘制出来，如上图所示。由于我在单独绘制时，并没有改变坐标轴位置，因此空出来的另一个轴我用来表示幸存部队数量，正数代表部队 2 获胜，负数代表部队 2 落败。

可以看到随着 s2 的增多，见左图颜色越来越深的曲线族，部队 2 就越容易取得胜利，二者也近似满足平方律关系。并且，大量的曲线位于纵轴右侧，代表随着数量优势的增加，部队 2 不仅能胜利，他们的战斗减员也更少。另外，随着数量的增加，曲线迅速向右移动，这说明数量提升具有事半功倍的效果。

而随着 b2 的提高，见右图颜色越来越深的曲线族，虽然随着战力增加，部队 2 也越容易获胜，剩余部队数量与战力提升呈现逐级误差的关系，体现在曲线的上限不高，越往上却越密集。

这即是所谓”人口红利“。斗胆想一想，这也是古罗马奴隶军团能够战胜古希腊市民城邦的数学原理。

下图是模拟结果的等势面图，它可以展示一些结果的细节。

Simulation-contours

随机化

上面是规规矩矩的模拟，下面使用蒙特卡洛法对参数进行采样，可以让图像富于变化，如下图所示。看到中间出现的那条紫色的深谷了吗？在那里就是两支部队博弈的均衡点，这个模型告诉我们，关键时刻人多比素质高更有用。

Full-mc

参考资料

[1]

The Lanchester function explaining by ChatGPT: https://observablehq.com/@listenzcc/the-lanchester-function-explaining-by-chatgpt

[2]

Lanchester's laws | Military Wiki | Fandom: https://military-history.fandom.com/wiki/Lanchester%27s_laws#:~:text=The%20Lanchester%20equations%20are%20differential%20equations%20describing%20the,to%20demonstrate%20the%20power%20relationships%20between%20opposing%20forces.