Nevanlinna theory 01

参考书: Min Ru 《Nevanlinna Theory and its Relation to Diophantine Approximation》

定理 1.1.1 (Poisson-Jensen 公式) 设函数在上亚纯, , 为在中的零点与极点, , . 若 , , , , 则

设为上的亚纯函数, , 令 . 记在上的极点个数为 , 计算重数. 定义 counting function 为:

其中即为在处的极点重数. 对任意 , 定义 counting function 为

从而特别地, 有

其中为在点处零点重数.

由 (Poisson-)Jensen 公式有:

推论 1.1.4 设在上亚纯. 则

其中 , 为首个非零系数.

任意 , 记 Nevalinna 的 proximity function 定义为:

对任意 , 定义

的 Nevanlinna's characteristic function (特征函数) 定义为:

刻画了的增长速度. 例如当且仅当为常值函数; 当且仅当为有理函数.

定理 1.1.5 (Nevanlinna's First Main Theorem) 设为上的亚纯函数, . 则对任意 , 有

且对任意给定 ,

其中为在附近 Taylor 展开式的首个非零系数.

证明: 第一个等式直接来自于推论 1.1.4. 再将推论 1.1.4 用于 , 得

由于 ,

从而

注意到对任意正实数 , 有

可得

故

Q.E.D.

Nevanlinna 第一主定理指出:

这个给出了的相对于的上界估计.

定理 1,1,6 设与 , , 为上的亚纯函数, 且满足

在上成立. 则

证明概要: 首先将最高次数项从该恒等式里拿出来, 经计算可得

从而

再取整函数使得均为整函数. 则有

由

可知 . 从而

结合 Nevanlinna 第一主定理即得

Q.E.D.