Part1时间反演对称性

时间反演对称性在Atland-Zirnbauer symmetry classes中至关重要，该分类的其中一个依据就是根据时间反演对称算符的平方来判断的。时间反演的奇偶性有两种：第一种时间反演算符作用在不含时的可观测量上，由于该可观测量不含时间导致它的性质不变，所以是时间反演偶性；第二种时间反演算符作用在含时的可观测量上，该可观察变为原来的相反数，所以是时间反演奇性。同时对于有些系统既没有时间反演奇性没有有偶性。根据角动量经历时间反演后的奇偶性，时间反演算符的平方可以取三个值-1，0，1，这三个数也就是在Atland-Zirnbauer symmetry classes 中时间反演算符的取值。

1时间反演算符

时间反演算符作用在一个物理状态上会将该状态带到过去的 时刻

在 时刻的态是从 时刻经过时间演化算符作用在 时间后得到

其中 是哈密顿量用来表征时间演化。如果系统有时间反演对称性则

以上式子也许存在问题，因为在 与 两个时刻的动量方向可能不相同，为了解决这个问题，应该考虑 的正负是相对于 而言的，如果是 则运动方向与 一致，否则与 的方向相反。该描述可以用下面的等式表示
(1)
等式左边的 将 ,观察时间增加的运动 \

等号右边，首先将运动状态回到过去，然后将 \

将等式(1)进一步推广，让它适用于任何的ket，则
(2)

2时间反演算符是反幺正算符

假设 是幺正的，则
(3)
考虑能量本征态 以及能量本征值 ,作用到(3)
(4)
公式(4)指出 是 的本征态，但是能量本征值为 ，能量不可能为一个负数，所以假设不成立。也可以进一步考虑自由粒子的情况在说明假设不成立

这与 相矛盾，因为
自由粒子的情况说明了假设不成立，所以 是反幺正的，它作用在虚数 上会将 ,所以公式(2)变为

3坐标、动量、角动量的时间反演奇偶性

定义 ，以及 是 和 经过 作用的态
定义 为可观测量


(5) 反厄密算符满足 =1
是可观测量，带入 (5)

我们考虑可观测量在时间反演下具有奇偶性
(6)
考虑 则
说明在时间反演后的系统中对 进行测量，得到的值与系统关于时间反演奇偶性有关。

动量关于时间反演是奇的

是 的本征态

坐标关于时间反演是偶的

角动量的时间反演是奇的

同理

假设 成立
则
上式说明假设成立。 若
则
说明假设不成立

自旋1/2系统的时间反演

选择沿z方向作为本征态 初始时候态沿着z正方向，经过旋转转到 方向，可以表示为先沿着y轴转再沿着z轴转
(7)
将时间反演算符作用到 ,得
将态从沿着z轴正方向转到z轴负方向，意味着沿着y轴转了 ，所以
(8)
反幺正算符 其中 是幺正算符， 是复共轭算符

作用到 依旧是 ,所以 作用到 上可以仅考虑

,

, \

作用在一个一般形式的态上


所以
无自旋系统中，由于
所以
由以上2个例子可以总结出一个一般的规律


其证明如下




当 取半整数的时候（假分数表示） ,当j取整数的时候