王二

V1

2022/03/25阅读:44主题:绿意

给呱呱谈谈小学应用题

小学生在学习列方程解应用题时,都会表现出不耐烦或者厌恶之情。其实是对数学的抽象思维不太能接受。主要是代数语言的翻译。

代数的语言就是方程

“如果一个问题的数量间存在着抽象关系,那么,只需要把通俗的语言换成代数的语言,问题便可迎刃而解。”——牛顿《普遍的算术》

那么具体如何操作呢?牛顿举了一个例子,如下所示:代数的问题

+ 商人原本有一笔钱 
+ 第一年商人花了100英镑
+ 又补充了剩余钱数的三分之一
+ 第二年商人仍旧花了100英镑
+ 又补充了剩余钱数的三分之一
+ 第三年商人又花了100英镑
+ 又补充剩余钱数的三分之一
+ 最后,他的钱数正好是原来的两倍

将它翻译成代数的语言

  • 商人原本有一笔钱:
  • 第一年商人花了100英镑:
  • 又补充了剩余钱数的三分之一:
  • 第二年商人仍旧花了100英镑:
  • 又补充了剩余钱数的三分之一:
  • 第三年商人又花了100英镑:
  • 又补充剩余钱数的三分之一:
  • 最后,他的钱数正好是原来的两倍:

通过求解方程,可以算出商人原来有多少钱?


一般来说,求解方程并不难,难的是根据题意列出方程。通过上述例子,我们得知列方程不过是把通俗的语言转换成代数语言,而技巧正是暗藏于此。通过转换,可以将通俗语言变成简洁的代数语言。

我们再通过几个例子来体会一下。

例题

例题1

一匹马、一头骡子分别驮着沉重的包裹并排前行。马抱怨说:“我的包裹太重了”,骡子说:“如果把你的包给我一个,我背的数量就是你的两倍,如果把我的包裹给你一个,你的数量才跟我一样多,还抱怨什么”,请问马和骡子的包裹数量分别是多少呢?

  • 一匹马背的包裹是:
  • 一头骡子背的包裹是:
  • 骡子说:"如果把你的包给我一个," 则马的包裹数变为: 而骡子背的包裹数变为:
  • "我背的数量就是你的两倍(接着上面那句话)"
  • 骡子说:"如果把我的包裹给你一个",则骡子的包裹数变为 马的包裹数变为
  • "你的数量才跟我一样多"(接着上面那句话): 因此,有两个等式,以上问题就变为一个二元一次方程组:

如何求解,暂且不谈。

例题2

长方形周长是64厘米,长比宽多3厘米,求长方形的长和宽各是多少厘米?

  • 长方形的长为:
  • 长方形的宽为:
  • 长方形的周长是:
  • 长比宽多3厘米:

又变成了一个二元函数的问题,如果这样的话,对于一般的小学生已经超纲了,因此,我们要将二元变为一元。那就得找两个未知量之间的关系。找关系,那就得先确定一个未知量呢?确定谁呢?接下来,我谈谈如何确定谁为未知量。

  • 规则1: 找关键字,比如:比、是等连接词,在连接词后的对象就是我们要设的未知量.
+ 长"比"宽多3厘米 ,
  令宽为未知量
+ 最后,他的钱数正好"是"原来的两倍,
  令原来的钱数是未知量
+ 甲"是"乙的两倍.
  令乙是未知量

长方形周长是64厘米,长比宽多3厘米,求长方形的长和宽各是多少厘米?

根据规则1,找到关键词,它之后的对象是,令宽为 ,则根据长比宽多3厘米,则可得长=x+3厘米。再根据题目中的另外一个条件,长方形周长是64厘米。再将周长用未知量来表示,则可得方程

在建立等式关系式时,等式的左边和右边用的条件不能一样。比如左边用题目确定的周长数据,则右边就不能再用64了,要不然就变成 ,故右边应该根据周长公式 ,这样的等式才是我们想要的方程。完整的解题过程如下。

解:设长方形的宽为 厘米,则长为 厘米。

解方程 答:长方形得长为17.5厘米,宽为14.5厘米。

例题3

一只两层书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书搬60本到下层,那么两层的书一样多,求上、下层原来各有书多少本?

根据规则1,找到了关键词:上层放的书下层的3倍。所以令下层有书 本,根据含关键词的那句话,则可以得出上层的书有 把上层的书搬60本到下层,这句话转为代数语言是:上层还剩 本,下层书变为 本。再依据那么两层的书一样多,建立等式关系:

完整的解题过程如下。

解:令下层书架有书 本,则上层书架有书 本。

解方程 故下层书架有书 本,上层书架有书120本。


几种数量关系

在小学阶段,几种数量关系要掌握。

+ 收入 - 支出 = 结余
+ 单价 × 数量 = 总价
+ 单产量 × 数量 = 总产量
+ 速度 × 时间 = 路程
+ 工作效率 × 时间 = 工作总量
+ 本金 × 时间 × 利率=利息

在很多应用题中经常会使用到这些数量关系,一般做法是,先审题,看它属于哪种数量关系,然后去找这关系中的代数表示再而建立方程。

例题4

苹果和梨共80斤,价值200元,已知苹果2元一斤,梨2.8元一斤,那么苹果和梨各多少斤?

规则2:如果没有关键词:,则根据平等原则,随便挑一个未知量假设即可。

【分析】设苹果 斤,那梨多少斤呢?又不能用另外一个字母表示,于是,我们要去找苹果和梨相关的语句。显然,第一句话阐述了二者关系:苹果和梨共80斤。于是,梨为 斤。再根据数量关系:单价 × 数量 = 总价

解,设苹果 斤,则梨 斤。列方程为

解方程得 答:苹果30斤,梨50斤。


例题5

甲、乙两车同时由A地到B地,甲车每小时行30千米,乙车每小时行45千米,甲车先出发2小时后乙车才出发,两车同时到达B地。求A、B两地的距离。

规则3:如果直接设所要求的,但是不好找变量之间关系,可以设间接未知量

【分析】 此题没有关键词,也没有两个或者两个以上的未知量,只有要求解的两地距离,如果设两地距离为 ,那根据数量关系,就得变形为时间=路程÷速度,甲的速度是30千米/时,则甲花费的时间为

乙的速度是45千米/时,则乙花费的时间是 这些数量都表示出来了,接下来就是根据数量间的关系建立等式了。去哪找?读题,呦,找到了,甲车先出发2小时后乙车才出发,说明乙车比甲车用的时间少了2小时。故关系式是 。答题步骤,这里就省略了。

但是,很多小孩子不太喜欢除法的运算,这时候,根据数量关系,你可以以时间为未知量,设谁的时间好呢?甲或者乙都可以,因为这里没有关键词。设甲的时间为 ,则根据甲车先出发2小时后乙车才出发可以得出乙的时间为 ,最后根据数量关系两车同时到达B地,建立等式

设谁为未知量,其实方法不固定,但是掌握这几个规则,倒是对刚学的人会有点帮助,有人会说,规则1应该是求谁设谁,但这样的题,我觉得呱呱应该没啥问题。所以就撇开了。希望对他有所帮助。当然,练习是很重要的,多做点应用题,语文的阅读理解或许会提高吧。加油少年!

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数学

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王二
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