张春成

V2

2022/12/17阅读:21主题:默认主题

万有引力与第一只手

万有引力与第一只手

万有引力定律是个伟大的定律,它从数学原理上描述了这个“有序的”宇宙。

然而这个定律并没有保证这个宇宙一定是有序的,甚至不需要要“三体”,最简单的地-日系统都可能直接把地球弹出去流浪。

于是我尝试用模拟的方法解释日-地式的双星系统可以不稳定到什么程度。欢迎访问我的前端笔记本

Play ground: Law of universal gravitation[1]


深入人心的《三体》

《三体》是一部伟大的科幻小说,它描述了一群住在三星系统中的倒霉蛋打扰地球,然后导致地球内讧的故事。它的题目是说三恒星系统的运动轨迹呈现混沌状态,所以导致其中行星上的生物颠沛流离。这确实是真的,但一个真命题的逆命题却不保证真实性,那就是

只有一个恒星的行星系统就活该是稳定的吗?

如果你看过牛顿大师的万有定律公式,并且学过伽利略大神的椭圆轨道推导,而又没有深入思考的话,你可能会得到肯定的答案,因为很难想象这么简单的公式能产生什么除了椭圆轨道之外的奇怪玩意。

但事实恰恰相反,可能是由于平方项出现在了分母这个向来不太吉利的位置上,所以它可以被用来描述十分不稳定的动力系统。所以牛顿大师才会有那一问,他问为什么如此狂暴的宇宙中,会产生太阳系这么“有规律”的行星系统。他最后将这一切归于宗教解释,认为有“上帝”完成了第一只手的推动,给予太阳系一个极其稳定的“边界条件”,之后一切顺其自然而富有规律,这也即著名的“第一推动力”原理。这也解释了他的书名《自然哲学的数学原理》,即认为数学是解释自然哲学中“何为此”和“此为何”的认知极限问题。

典型轨迹

那么不扯太远,根据简单的公式建立微分方程是我会做的,根据微分方程求离散解也是我会做的。于是我将二者结合起来,形成一个可交互的前端 DEMO。该 DEMO 描述了在太阳的质量可调,以及地球的初速度可调的情况下,地球的轨迹可以是什么样子。在 DEMO 中你可以通过改变模拟和初始条件,看到一些不符合常识却可能是真实的神奇轨迹。

Play ground: Law of universal gravitation

熟悉的轨迹

这是我们熟悉和现在生活的轨迹模式,地球以椭圆轨迹围绕太阳转动。轨迹上的各个点代表每个时刻地球所处的位置,颜色越红代码时间越靠后。由于初速度不是很精确,因此导致轨迹在每个周期间会产生一些“偏移”。

Normal
Normal

Normal

Normal-param
Normal-param

Normal-param

混沌轨迹

当我们稍微改变一点初始条件,事情就开始变得有趣起来。比如我们将地球的初始速度减慢一点,那么直觉上,向心力会更加将地球“拉向”太阳。而由于地球冲向太阳的速度过快,它又会冲出来,周而复始,因此它的轨迹会极其不稳定。这种情况下真的不用考虑什么生物了,因为你可以想象地球冲向太阳时,地球的铁核心沸腾的盛况。它很可能撑不了几个周期就被辐射吹散了。

Chaos
Chaos

Chaos

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Chaos-param

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流浪地球

刚才的模拟至少能保证地球的“残骸”还在太阳周围,而如果再将初始值调整一下,地球会被强大的“弹弓效应”直接弹出去。简单来说,就是太阳质量又增大一些,地球不仅加速冲向太阳,而且近日点速度超过临界值,导致它在远日点的速度超过太阳的“第一宇宙速度”,直接逃逸去流浪了。

其实这是我不理解《流浪地球》的地方,因为与其直接抵抗太阳引力而将地球“发射”的话,应该冲向太阳,通过这种“弹弓效应”获得更快的初始速度,也就不用担心木心这种“小东西”将地球捕获了。但也许是因为会过热什么的,大刘并没有采用这种方式。看得出来,中国人骨子里还是温和。

Runaway
Runaway

Runaway

Runaway-param
Runaway-param

Runaway-param

最后是一段视频,描述在参数改变时轨迹如何变化,它说明巨大的混沌可能在平静的参数旁边不远处出现,突出一个瞬息万变。

参考资料

[1]

Play ground: Law of universal gravitation: https://observablehq.com/@listenzcc/play-ground-law-of-universal-gravitation

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