几何测度论 (Federer) 笔记 02

Caratheodory's construction

设 为度量空间, 为 的子集族, 给定函数 满足

由 可构造出一个相关的测度. 固定 , 对任意 , 定义

可见 , 若 . 从而存在

及 均为 上的测度. 由 Caratheodory's criterion 可知任意 的开子集均 可测 (但对 并不一定成立).

定理 (Caratheodory's criterion): 为度量空间 上的测度, 则 上的所有开子集均 可测的充要条件是

如果 中的元素均为 Borel 集, 则任意 的子集均包含于一个与其 测度相同的 Borel 集中, 因此 是一个 Borel 正则测度.

如上构造的测度 称为 result of Caratheodory's construction from on , 称为 size approximating measure.

如上构造的 一般并不是 的延拓.

①. 取

其中 为非负整数,

为 上的 Lebesgue 测度.

(1). 若 为 全体非空子集, 则由此构造得到的测度 称为 上的 维 Hausdorff 测度, 记作 . 等于 上的计数测度. 若 , 则 , .

(2). 若 为 中的所有闭球, 则由此构造得到的测度 称为 上的 维球测度, 记作 . 显然有 .

②. 设 , 为正整数, 对任意 ,

为 中全体非空子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度记作 .

③. 设 , 为正整数, , 对任意 ,

其中 为 到 所有正交投影组成的空间.

(1). 为 中全体 Borel 子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为 上的 维 Gross 测度, 记作 .

(2). 为 中全体开凸子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为 上的 维 Caratheodory 测度, 记作 . 时, , 从而 .

④. 设 , 记 为 上的 不变 (体积 1) 测度. 当 时, 记正常数 满足:

对任意 为 上的简单 向量 ( 中 个向量的外积). 事实上

. 对 , 定义 .

现在设 , 为正整数, , . 对任意 Suslin 集 , 取 上的函数 , 使得

并令

(1). 为 上全体 Borel 子集. 由 上的 通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为 上的 维指数 的 integralgeometric 测度, 记作 .

(2). 为 上全体开凸子集. 由 上的 通过 Caratheodory's construction 得到的测度记作 .

.

称为 维 Gillespie 测度.

当 时, 上述所有测度都与 相等.

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吐槽一句, 这些花体的字母实在太难辨识了。。下面列出按顺序排列的花体字母做对照用：