Caratheodory's construction

设为度量空间, 为的子集族, 给定函数满足

由可构造出一个相关的测度. 固定 , 对任意 , 定义

可见 , 若 . 从而存在

及均为上的测度. 由 Caratheodory's criterion 可知任意的开子集均可测 (但对并不一定成立).

定理 (Caratheodory's criterion): 为度量空间上的测度, 则上的所有开子集均可测的充要条件是

如果中的元素均为 Borel 集, 则任意的子集均包含于一个与其测度相同的 Borel 集中, 因此是一个 Borel 正则测度.

如上构造的测度称为 result of Caratheodory's construction from on , 称为 size approximating measure.

如上构造的一般并不是的延拓.

①. 取

其中为非负整数,

为上的 Lebesgue 测度.

(1). 若为全体非空子集, 则由此构造得到的测度称为上的维 Hausdorff 测度, 记作 . 等于上的计数测度. 若 , 则 , .

(2). 若为中的所有闭球, 则由此构造得到的测度称为上的维球测度, 记作 . 显然有 .

②. 设 , 为正整数, 对任意 ,

为中全体非空子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度记作 .

③. 设 , 为正整数, , 对任意 ,

其中为到所有正交投影组成的空间.

(1). 为中全体 Borel 子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为上的维 Gross 测度, 记作 .

(2). 为中全体开凸子集. 由此通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为上的维 Caratheodory 测度, 记作 . 时, , 从而 .

④. 设 , 记为上的不变 (体积 1) 测度. 当时, 记正常数满足:

对任意为上的简单向量 ( 中个向量的外积). 事实上

. 对 , 定义 .

现在设 , 为正整数, , . 对任意 Suslin 集 , 取上的函数 , 使得

并令

(1). 为上全体 Borel 子集. 由上的通过 Caratheodory's construction 得到的测度称为上的维指数的 integralgeometric 测度, 记作 .

(2). 为上全体开凸子集. 由上的通过 Caratheodory's construction 得到的测度记作 .

.

称为维 Gillespie 测度.

当时, 上述所有测度都与相等.

吐槽一句, 这些花体的字母实在太难辨识了。。下面列出按顺序排列的花体字母做对照用：