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2022/07/23阅读:33主题:默认主题

Green-Tao 定理的证明 (1): 准备, 记号和 Gowers 范数

Green-Tao 定理的证明

准备, 记号和 Gowers 范数

从这一章开始, 我们将证明存在长度为 的等差数列.

一些准备与记号

, 其中 大素数.

接下来引入函数的期望 (均值). 对函数 , 我们定义其在子集 上的期望

对于 的情形, 在声明函数定义域的情况下可以简记为 .

上实函数 , 定义其内积为

上的可积函数空间自然也可定义, 尽管函数都一样, 我们还是引入不同的范数:

一言以蔽之, 我们在 上只考虑均匀分布的概率测度.

我们会使用以下的渐进符号: 分别表示当 时有界和极限为 0 的量; 若这个渐进量取决于其他参数, 会在 后以角标标记, 如 ; 由于我们视等差数列的长度 为常数, 它将不会出现在角标中.

随机性的刻画

为了刻画集合的随机性, 下面我们给出所谓 "伪随机" 的概念. 这些定义并不十分直观.

定义 1.1.1.(伪随机性) 1.称 为一个测度, 是指其期望满足 .

2.称一个测度 线性型, 是指对任何 个线性函数 , , (记为 ) , 若它们满足:

(1). 所有的 均为分子与分母绝对值不超过 的有理数;

(2). 向量族 中任一个向量不是另一个的有理数倍;

(3). ;

则有

3.称一个测度 满足 相关性条件, 是指对所有的 , 存在一个权函数 使得 对所有 成立, 且

$$\mathbb{E}_{x\in [N]}(\nu(x+h_1)\nu(x+h_2)\cdots\nu(x+h_m))\le \sum\limits_{i 对所有 (不需要互异) 成立.

4.称一个测度 伪随机的, 是指它为 线性型并且满足 相关性条件.

引理1.2. 阶伪随机测度, 则 同样是 阶伪随机测度.

证明. 首先 是非负测度; 为了验证 线性型, 将定义中期望表达式里的 换成 , 展开得到 项求和, 最后再除以 , 其中每一项的均值都为 , 这就验证了线性型条件; 相关性条件的证明是类似的.

注. 类似地, 若 阶伪随机测度, 则 同样是 阶伪随机测度; 但我们只会用到 的情形.

证明梗概

我们主要介绍Green-Tao对下面量化定理的证明:

定理 1.2.1. [Green-Tao-Szemerédi] , 则对任意 伪随机的测度 , 只要函数 满足 , 就有

我们会用到下面Szemerédi定理的量化版本:

定理 1.2.2. [Szemerédi] , 则对任意函数 满足 , 就有

这个结果的证明不会给出, 请自行参阅相关文献.

为了利用 Green-Tao-Szemerédi 定理 (下面简称 G-T-S 定理) 证明等差素数列的存在性, 我们需要寻找出一种 伪随机的测度 , 使得它能与素数产生联系.

伪随机测度的构造

先选择函数 , 我们希望这个函数 在素数以外的数上取很少的非0值, 这样才能利用 G-T-S 定理说明素数等差数列的存在性. 首先自然地会考虑素数的特征函数 , 但这个函数的期望实际为 0, 所以不能被用于充当上述 G-T-S 定理中的函数 .

接下来一个自然的想法是 von Mangoldt 函数

注意到由素数定理, , 似乎可以套用 G-T-S 定理了, 并且由于素数的幂次很少, 可以近似看成一个筛选素数的工具函数. 我们要做的是找到一个 伪随机测度 , 有常数 使得对所有自然数 , . 但这样的 实际上并不存在: 大概说来, 对大整数 , 一个 伪随机的测度的值会均匀地分布在所有 个剩余类上, 而 函数只会在那些与 互素的整数上取得非零值, 也就是说只有 个剩余类可以有非零的 值. 注意到两个函数有相同的均值, 我们有

这是因为 可以任意小.

Green 与 Tao 使用了一种被称为 -trick 的方法来克服这一技术困难. 我们考虑 是一个增长相当缓慢的参数函数, 并设 . 现在我们定义改良版的 von Mangoldt 函数如下:

定义 1.2.3.

如果 , 那么算术级数的素数定理告诉我们

这意味着 是一个测度. 事实上 可以改为任意的 , 其中 . 如果有一些 能够组成等差数列, 那么 自然也是等差数列, 这样就可以通过缩小 的范围来简化我们的讨论. 接下来 Green 与 Tao 通过解析数论得到了下面的

定理 1.2.4. , 是一个大素数. 则存在一个 伪随机的测度 使得对所有 , 成立

这个定理的证明已超出本文范围, 我们在此略去. 借助这个定理与前述的 G-T-S 定理, 我们可以给出 G-T 定理的证明.

Green-Tao 定理的证明

接下来计算 . 利用熟知的 Dirichlet 定理, 我们有

所以

于是应用 G-T-S 定理可以得到

我们知道 取非 0 值时就可以产生等差数列, 于是考察 部分的贡献:

这告诉我们 的值主要来源于 中的长度为 的等差数列. 如果这样的等差数列不存在, 那么期望值应为 0, 这是一个矛盾. 于是我们可以找到一个长为 的等差数列 , 使得 在这个序列上都取非 0 值, 于是 就是长为 的等差素数列. 这就完成了 Green-Tao 定理的证明.

本文剩下部分的主要内容便是 G-T-S 定理的证明.

Gowers 一致性范数

为了度量集合的随机性, 我们引入 Gowers 一致性范数. 对一族实函数 , 其中 我们定义其 Gowers 内积为

其中 , . 对于复值函数的情形, 可以按如下定义:

其中 表示取共轭. 对实函数 , 我们定义其 Gowers 范数为

复值函数的 Gowers 范数在证明中将很少使用. 从定义并不容易直接看出这是一个范数, 我们将在这节予以证明.

首先引入研究 Gowers 范数常用的 Gowers-Cauchy-Schwarz 不等式.

定理 1.3.1.[Gowers-Cauchy-Schwarz] 对实函数族 , 我们有

证明. 整个证明大致上是对 使用归纳法. 我们考虑 , 并按照 的取值分为两类, 就有

其中 . 这里 定义为 , . 对另一族的定义是类似的. 可以看到这一步骤可以在 的各个坐标上执行, 于是在每个坐标上都执行一遍上述步骤, 我们就得到

接下来我们可以证明 Gowers 范数的三角不等式.

定理 1.3.2. 对实函数 , .

注意到