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2022/06/29阅读:56主题:萌粉

卫星运动的微分方程

卫星轨道微分方程:

  卫星运动中的有心力是保守力,机械能守恒定律成立.因此,我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中,力 的具体形式已知.

  因为有心力是保守力,故一定存在势能 ,有

  (2)式中 是一个与卫星无关而只和地球有关的量, 为卫星和地球之间的距离, 为卫星质量.取无穷远处的势能为零,则得质点在距力心为 时的引力势能为:

  我们在研究有心力问题时,如图1所示,通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程:

图1·建立极坐标系进行分析
图1·建立极坐标系进行分析

  式子中 是常数   联立 式可得:

  为了消去 式中的 ,我们先做如下变换:

  将 带入 可得:

  将 联立可得:

  解出 ,并分离变量并积分可得:

  已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为:

  令 ,所以可以将式 改写成 式的形式. 由式 可知,因为 的值恒为正,所以总能量 决定了卫星轨道的形状.

  下面我们分类讨论:

,则 ,轨道为椭圆;

,则 ,轨道为抛物线;

,则 ,轨道为双曲线.

数值模拟

1、圆轨道

图2·圆轨道数值模拟
图2·圆轨道数值模拟
图3·卫星在圆轨道能量变化情况
图3·卫星在圆轨道能量变化情况

2、椭圆轨道

图4·椭圆轨道数值模拟
图4·椭圆轨道数值模拟
图5·卫星在椭圆轨道能量变化情况
图5·卫星在椭圆轨道能量变化情况

3、抛物线轨道

图6·抛物线轨道数值模拟
图6·抛物线轨道数值模拟
图7·卫星在抛物线轨道能量变化情况
图7·卫星在抛物线轨道能量变化情况

3、双曲线轨道

图8·双曲线轨道数值模拟
图8·双曲线轨道数值模拟
图9·卫星在双曲线轨道能量变化情况
图9·卫星在双曲线轨道能量变化情况

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数学

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