Nevanlinna theory 03

下面我们给出 Nevanlinna 第二主定理及其证明.

的 ramification term 记作 , 定义为

注意到 .

定理 1.3.1 (Nevanlinna 第二主定理) 令为有限个互不相同的复数. 令为上的非常值亚纯函数. 则对任意 , 不等式

对任意在一个 Lebesgue 测度有限集之外成立.

证明: 令 . 对任意 , 若满足 , 且 , , 令为中的某个指标使得

则对任意 , 由三角不等式, . 因此, 对 ,

从而

注意到

从而

令 , 并对积分可得

由推论 1.1.4, 我们有

以及

从而上面的不等式变为

由 Nevanlinna 第一主定理, 及的定义, 上述不等式左边即为

为了完成证明, 我们还需要估计

令 , 则

过程中用到了 Jensen 不等式和 , 对任意正实数 , 以及 . 再由定理 1.2.3, 及不等式 , 我们得到上述表达式满足

其中是只与相关的常数. 由引理 1.2.4, 取 , 我们有对任意且不在中, 则

且

从而, 对任意且不在中, 有

结合上述一系列估计即得证. Q.E.D.

定义 truncated counting function 为

由 Nevanlinna 第二主定理可得如下推论.

推论 1.3.2 令为互不相同复数. 令为上的非常值亚纯函数. 则对任意 , 不等式

对任意在一个 Lebesgue 测度有限集外成立.

证明: 容易验证

Q.E.D.

推论 1.3.3 (Picard 定理) 若上的亚纯函数不取到三个不同值 , 则一定为常值函数.

证明: 假设不为常值函数. 由 Nevanlinna 第二主定理, 我们有

对任意在 Lebesgue 测度有限集之外成立. 但是, 因为不取 , 所以 , . 因此

对任意在 Lebesgue 测度有限集之外成立. 矛盾! Q.E.D.