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2023/04/28阅读:11主题:默认主题
Nevanlinna 理论笔记 03
Nevanlinna theory 03
下面我们给出 Nevanlinna 第二主定理及其证明.
的 ramification term 记作 , 定义为
注意到 .
定理 1.3.1 (Nevanlinna 第二主定理) 令 为有限个互不相同的复数. 令 为 上的非常值亚纯函数. 则对任意 , 不等式
对任意 在一个 Lebesgue 测度有限集 之外成立.
证明: 令 . 对任意 , 若满足 , 且 , , 令 为 中的某个指标使得
则对任意 , 由三角不等式, . 因此, 对 ,
从而
注意到
从而
令 , 并对 积分可得
由推论 1.1.4, 我们有
以及
从而上面的不等式变为
由 Nevanlinna 第一主定理, 及 的定义, 上述不等式左边即为
为了完成证明, 我们还需要估计
令 , 则
过程中用到了 Jensen 不等式和
其中
且
从而, 对任意
结合上述一系列估计即得证. Q.E.D.
定义 truncated counting function 为
由 Nevanlinna 第二主定理可得如下推论.
推论 1.3.2 令
对任意
证明: 容易验证
Q.E.D.
推论 1.3.3 (Picard 定理) 若
证明: 假设
对任意