淦数学

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2022/05/04阅读:31主题:草原绿

1962年高考数学真题

试卷综述

本套试卷有10道题目,整体试卷难度不大,考察主要涉及复数、几何正面、三角、立几这几个方面,反三角函数现行高考考点已经删除了,还是有一定的思维训练在里面的,看上去是反三角函数,其实本质上是倍角公式,说穿了就是把反三角函数的值看成是角就行了,然后三角函数该怎么用就怎么用,比如说 它就表示正弦值等于 的角。

具体知识点见下图:

表格来自自己整理
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亮点试题

第二题,披着复数的外衣,考二项式的内核;

第七题,正余弦定理合体考察,属于第一次;

第八题,平几的外衣,不等式的内核;

第十题,基本定理实属不易,相信当时很多人都是懵的。

有训练价值的问题及适用范围

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先睹为快

1.某工厂第三年产量比第一年增长21%,问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1%)

2.求 的实部

3.解方程

7.已知 内的一点, (精确到小数点后两位, )

8.已知 都是正方形(如图),而 分别把 分为 ,设

(1)求 的面积;

(2)求证 的面积不小于

9.由正方体 的顶点 作这正方体的对角线 的垂线,垂足为 ,证明:

10.求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内

正文

1.某工厂第三年产量比第一年增长21%,问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1%)

【解题笔记】设增长率为 ,列出方程求解即可,这是初三二次方程增长率这个知识点

  • 类似问题
    • 1961·全国·7 一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同,如果第三年比原计划多生产1000台,那么每年比上一年增长的百分率相同,而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半,原计划每年生产机器多少台?

2.求 的实部

【解题笔记】

法一:硬算,直接利用复数运算性质,进行5次方即可求出;

法二:因为虚数单位 的零次方或偶次方为实数,所以实部就是这些项的和,利用二项式定理求解

  • 类似问题
    • 1950年第7题 设 都是实数, ,且 ,则 ( ), ( ).

    • 1950年第12题 设 为实数,已知方程 的一根为 ,求 的值。

    • 1959·全国·2 求 的值

3.解方程

【解题笔记】对数运算性质的运用,注意解得必须要满足真数部分大于零。

  • 同类问题有:
    • 1952年第2题 若 ,问

    • 1954·全国·2 解

    • 1961·全国·2 解方程

4.求 的值

【解题笔记】三角函数反函数问题,设 ,则 ,后面就根据倍角公式进行计算即可。

5.求证:(1)圆内接平行四边形就是矩形;(2)圆外切平行四边形就是菱形

【解题笔记】(1)根据平行弦所夹的弧相等;(2)利用切线长定理即可

6.解方程组

并讨论 取哪些实数时,方程组

(1)有不同的两实数解;

(2)有相同的两实数解;

(3)没有实数解

【解题笔记】消去 ,得到关于 的一元二次方程,再利用判别式进行即可

7.已知 内的一点, (精确到小数点后两位, )

【解题笔记】根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

中利用正弦定理求出 ,在 中利用余弦定理求出 即可

8.已知 都是正方形(如图),而 分别把 分为 ,设

(1)求 的面积;

(2)求证 的面积不小于

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】(1)看到比的情况,直接设 ,在直角 中,利用勾股定理求出斜边长,再根据 得到 ,这样就可以得到 的面积;

(2)根据第一问的情况,直接将 的面积与 做差比较即可。

9.由正方体 的顶点 作这正方体的对角线 的垂线,垂足为 ,证明:

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】

法一:中规中矩的正方体图形,连接 ,令正方体边长为1,可以直接计算 , 的长;

法二:利用射影定理,连接 ,可知: , ,再把这两式相除即可。

10.求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内

【解题笔记】分类讨论;

第一种:四条直线没有三条直线过同一点,如下图:

几何画板作图
几何画板作图

如此,四条直线就有6个交点, 交于点 ,可以确定一个平面 ,点 在直线 上,点 在直线 上,所以点 都在平面 内,而 都在直线 上,所以直线 在平面 ,同理可说明直线 在平面 内;

第二种,四条直线有三条直线过一点,第四条直线不过,如下图:

几何画板作图
几何画板作图

和直线 确定一个平面 ,点 在直线 上,所以点 在平面 内,点 又在直线 上,所以 在平面 内,其余三条直线同理可证。

分类:

数学

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