1962年高考数学真题

试卷综述

本套试卷有10道题目，整体试卷难度不大，考察主要涉及复数、几何正面、三角、立几这几个方面，反三角函数现行高考考点已经删除了，还是有一定的思维训练在里面的，看上去是反三角函数，其实本质上是倍角公式，说穿了就是把反三角函数的值看成是角就行了，然后三角函数该怎么用就怎么用，比如说 它就表示正弦值等于 的角。

具体知识点见下图：

「亮点试题」

第二题，披着复数的外衣，考二项式的内核；

第七题，正余弦定理合体考察，属于第一次；

第八题，平几的外衣，不等式的内核；

第十题，基本定理实属不易，相信当时很多人都是懵的。

有训练价值的问题及适用范围

「先睹为快」

1.某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）

2.求 的实部

3.解方程

7.已知 为 内的一点， ， ， ， 求 (精确到小数点后两位， )

8.已知 ， 都是正方形(如图)，而 分别把 、 、 、 分为 ，设

(1)求 的面积;

(2)求证 的面积不小于

9.由正方体 的顶点 作这正方体的对角线 的垂线，垂足为 ，证明:

10.求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内

正文

1.某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）

【解题笔记】设增长率为 ，列出方程求解即可，这是初三二次方程增长率这个知识点

• 类似问题

  • 1961·全国·7 一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？

2.求 的实部

【解题笔记】

法一：硬算，直接利用复数运算性质，进行5次方即可求出；

法二：因为虚数单位 的零次方或偶次方为实数，所以实部就是这些项的和，利用二项式定理求解

• 类似问题

  • 1950年第7题 设 都是实数， ，且 ,则 ( ), ( ).

  • 1950年第12题 设 、 为实数，已知方程 的一根为 ,求 、 的值。

  • 1959·全国·2 求 的值

3.解方程

【解题笔记】对数运算性质的运用，注意解得必须要满足真数部分大于零。

• 同类问题有：

  • 1952年第2题 若 ，问

  • 1954·全国·2 解

  • 1961·全国·2 解方程

4.求 的值

【解题笔记】三角函数反函数问题，设 ，则 ，后面就根据倍角公式进行计算即可。

5.求证：（1）圆内接平行四边形就是矩形；（2）圆外切平行四边形就是菱形

【解题笔记】（1）根据平行弦所夹的弧相等；（2）利用切线长定理即可

6.解方程组

并讨论 取哪些实数时，方程组

(1)有不同的两实数解;

(2)有相同的两实数解;

(3)没有实数解

【解题笔记】消去 ，得到关于 的一元二次方程，再利用判别式进行即可

7.已知 为 内的一点， ， ， ， 求 (精确到小数点后两位， )

【解题笔记】根据题意画出图形如下：

在 中利用正弦定理求出 ,在 中利用余弦定理求出 即可

8.已知 ， 都是正方形(如图)，而 分别把 、 、 、 分为 ，设

(1)求 的面积;

(2)求证 的面积不小于

【解题笔记】（1）看到比的情况，直接设 ， ，在直角 中，利用勾股定理求出斜边长，再根据 得到 ，这样就可以得到 的面积；

（2）根据第一问的情况，直接将 的面积与 做差比较即可。

9.由正方体 的顶点 作这正方体的对角线 的垂线，垂足为 ，证明:

【解题笔记】

法一：中规中矩的正方体图形，连接 ，令正方体边长为1，可以直接计算 , 的长；

法二：利用射影定理，连接 ，可知： , ，再把这两式相除即可。

10.求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内

【解题笔记】分类讨论；

第一种：四条直线没有三条直线过同一点，如下图：

如此，四条直线就有6个交点， 交于点 ，可以确定一个平面 ，点 在直线 上，点 在直线 上，所以点 都在平面 内，而 都在直线 上，所以直线 在平面 ，同理可说明直线 在平面 内；

第二种，四条直线有三条直线过一点，第四条直线不过，如下图：

点 和直线 确定一个平面 ，点 在直线 上，所以点 在平面 内，点 又在直线 上，所以 在平面 内，其余三条直线同理可证。