银俊成
2022/12/27阅读:15主题:默认主题
2023年研考数学二简答题解析
2023年研考数学二解答题解析
三、解答题:17-22题(共70分)
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(本小题满分10分) 设曲线 经过点 上任一点 到 轴的距离等于该点处的切线在 轴上的截距.
(1)求 ;
(2)在 上求一点, 使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
解析: (1) 设曲线 在点 处的切线方程为
令 得切线在 轴上的截距为
由题设条件有 即
解得
又 经过点 则 所以
解析: (1) 设曲线 在点 处的切线方程为
令 得切线在 轴上的截距为
由题设条件有 即
解得
又 经过点 则 所以
(2) 求导得 , 则曲线 上一点 处的切线为
令 得 令 得
故切线与两坐标轴所围三角形面积为
令
得唯一驻点
当 时, 当 时, 故 在 取到唯一极小值, 也是最小值
-
(本小题满分12分) 求函数
解析: 令
求二阶导数,
则在驻点处有
当
当
-
(本小题满分12分) 已知平面区域
(1) 求
(2) 求
解析: (1) 由题设条件可知, 所求面积
(2) 旋转体体积为
-
(本小题满分12分) 设平面有界区域
解析: 结合区域特点, 采用极坐标计算比较简单. 边界曲线用极坐标表示为
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(本小题满分12分) 设函数
(1) 若
(2) 若
解析: (1) 由题设条件, 可写出泰勒公式
从而有
两式相加得
由闭区间上连续函数的最值定理可知,
由闭区间上连续函数的介值定理可知, 存在
-
(本小题满分12分) 设函数
(1) 若
(2) 若
解析: (1) 由题设条件, 可写出泰勒公式
从而有
两式相加得
由闭区间上连续函数的最值定理可知,
由闭区间上连续函数的介值定理可知, 存在
(2) 设
则有
从而有