2023年研考数学二解答题解析

三、解答题：17-22题（共70分）

(本小题满分10分) 设曲线经过点上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距.

(1)求 ;

(2)在上求一点, 使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.

解析: (1) 设曲线在点处的切线方程为

令得切线在轴上的截距为

由题设条件有即

解得

又经过点则所以

解析: (1) 设曲线在点处的切线方程为

令得切线在轴上的截距为

由题设条件有即

解得

又经过点则所以

(2) 求导得 , 则曲线上一点处的切线为

令得令得

故切线与两坐标轴所围三角形面积为

令

得唯一驻点

当时, 当时, 故在取到唯一极小值, 也是最小值

(本小题满分12分) 求函数

的极值.

解析: 令

得驻点其中为整数.

求二阶导数,

则在驻点处有

当为奇数时, 故此驻点不是极值点;

当为偶数时, 且故此驻点是极小值点, 极小值为

(本小题满分12分) 已知平面区域

(1) 求的面积;

(2) 求绕轴旋转所成旋转体的体积.

解析: (1) 由题设条件可知, 所求面积

(2) 旋转体体积为

(本小题满分12分) 设平面有界区域位于第一象限, 由曲线与直线围成, 计算

解析: 结合区域特点, 采用极坐标计算比较简单. 边界曲线用极坐标表示为

(本小题满分12分) 设函数在上具有阶连续导数. 证明:

(1) 若则存在使得

(2) 若在内取得极值, 则存在使得

解析: (1) 由题设条件, 可写出泰勒公式

从而有

两式相加得

由闭区间上连续函数的最值定理可知, 在上有最小值与最大值 , 则

由闭区间上连续函数的介值定理可知, 存在使得

(本小题满分12分) 设函数在上具有阶连续导数. 证明: