银俊成

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2022/12/27阅读:15主题:默认主题

2023年研考数学二简答题解析

2023年研考数学二解答题解析

三、解答题:17-22题(共70分)

  1. (本小题满分10分) 设曲线 经过点 上任一点 轴的距离等于该点处的切线在 轴上的截距.

(1)求 ;

(2)在 上求一点, 使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.

解析: (1) 设曲线 在点 处的切线方程为

得切线在 轴上的截距为

由题设条件有

解得

经过点 所以

解析: (1) 设曲线 在点 处的切线方程为

得切线在 轴上的截距为

由题设条件有

解得

经过点 所以

(2) 求导得 , 则曲线 上一点 处的切线为

故切线与两坐标轴所围三角形面积为

得唯一驻点

时, 时, 取到唯一极小值, 也是最小值

  1. (本小题满分12分) 求函数 的极值.

解析: 令

得驻点 其中 为整数.

求二阶导数,

则在驻点处有

为奇数时, 故此驻点 不是极值点;

为偶数时, 故此驻点 是极小值点, 极小值为

  1. (本小题满分12分) 已知平面区域

(1) 求 的面积;

(2) 求 轴旋转所成旋转体的体积.

解析: (1) 由题设条件可知, 所求面积

(2) 旋转体体积为

  1. (本小题满分12分) 设平面有界区域 位于第一象限, 由曲线 与直线 围成, 计算

解析: 结合区域特点, 采用极坐标计算比较简单. 边界曲线用极坐标表示为

  1. (本小题满分12分) 设函数 上具有 阶连续导数. 证明:

(1) 若 则存在 使得

(2) 若 内取得极值, 则存在 使得

解析: (1) 由题设条件, 可写出泰勒公式

从而有

两式相加得

由闭区间上连续函数的最值定理可知, 上有最小值 与最大值 , 则

由闭区间上连续函数的介值定理可知, 存在 使得

  1. (本小题满分12分) 设函数 上具有 阶连续导数. 证明:

(1) 若 则存在 使得

(2) 若 内取得极值, 则存在 使得

解析: (1) 由题设条件, 可写出泰勒公式

从而有

两式相加得

由闭区间上连续函数的最值定理可知, 上有最小值 与最大值 , 则

由闭区间上连续函数的介值定理可知, 存在 使得

(2) 设 处取到极值, 则 因此有泰勒公式

则有

从而有