张春成

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2022/03/01阅读:59主题:默认主题

有限循环群

有限循环群

偶然发现,似乎在所有有限的循环群中, 幺元是群内生的禀赋, 而不需要额外的假设。

这说明, 如果宇宙中先有某种法则的话, 只要我们观测到了自然数, 就无法否定在某个地方, 它能够把原本极大的,映射为极小的, 从而把终点变成起点。


有限循环群中的幺元

首先假设一个二元运算,

如果一个集合对这种运算封闭,则称为群。

再进一步, 如果集合的所有元素都能表示成 的形式,

那么 称为集合的生成元。

这时神奇的事情发生了, 在这个集合中, 幺元的存在性是必然的,不需要额外的假设。

更加具体来说,

如果一个群的生成元是唯一的, 并且其元素是有限的, 那么所有元素的累积就是这个群的幺元。

证明过程及其简单, 可以参考费马小定理的证明方法。

证明:

首先, 假设集合中有 个元素,

我们不知道它具体的值, 但可以肯定它是某个值, 暂时用用 表示。

由生成元的性质可知,

因此,可以考虑全部元素

它们各自与 进行运算,得到新集合

对新集合的全部元素进行累积

即, 是集合的幺元。

证明毕。

如何构造这样的群

既然这类有限循环群具有如此良好的性质, 那么我们如何构造它呢?

有理数的子集就可以构造这样的群。

自然数

小范围来说,自然数的子集是比较直观的例子, 此时,任意自然数都可以作为生成元。 而由于直接构造出的群是可数的无限群, 为了构造有限群,对所有元素取余即可。 这也是费马小定理的思想。

其中, 为任意自然数, 为质数。 不难看到, 这个集合的幺元为 ,证明如下

证明毕。

有理数

然而,如果不用取余计算, 而只考虑任意自然数 , 构造这样的序列

它显然不是什么有意义的东西, 但只要稍加改动

则有新序列

左侧序列的长度为 是为了使右侧所有元素两两运算的结果都能够在左侧找到对应的元素, 从而满足群的封闭性。

但这里我们发现,原始序列中的 是可以去掉的, 它的值其实是一个结果

也就是说,无论 的取值如何,我们都能够从这样生成的群中找到幺元。 所以,虽然所有的集合几乎都需要从1开始讲起, 但1的存在是先于集合的一面镜子。

这当然不是无病呻吟, 因为只要对这个集合取对数, 就可以生成自然数序列。 也就是说, 如果宇宙中先有某种法则的话, 只要我们观测到了自然数, 就无法否定在某个地方, 它能够把原本极大的,映射为极小的

从而把终点变成起点。

分类:

数学

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数学

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张春成
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