宫水三叶的刷题日记

V1

2022/11/21阅读:12主题:全栈蓝

808. 分汤 : 挺有意思的 DP 题

题目描述

这是 LeetCode 上的 808. 分汤 ,难度为 中等

Tag : 「数学」、「动态规划」、「线性 DP」

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作:

  1. 提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
  2. 提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
  3. 提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
  4. 提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后,汤就没有了。每个回合,我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作,我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时,停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值: 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案   的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50

输出: 0.62500

解释:如果我们选择前两个操作,A 首先将变为空。
对于第三个操作,A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作,B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100

输出: 0.71875

提示:

数学 + 动态规划

四种分配方式都是 的倍数,因此我们可以将 进行除以 上取整的缩放操作,并将四类操作等价成:

  1. 提供 4ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
  2. 提供 3ml 的 汤A 和 1ml 的 汤B 。
  3. 提供 2ml 的 汤A 和 2ml 的 汤B 。
  4. 提供 1ml 的 汤A 和 3ml 的 汤B 。

定义 为 汤A 剩余 毫升,汤B 剩余 毫升时的最终概率( )。

最终答案为 为最终答案,考虑任意项存在为 情况时的边界情况:

  • ,结果为 ,即有
  • ,结果为 ,即有 ,其中
  • ,结果为 ,即有 ,其中

其余一般情况为 均不为 ,由于四类操作均为等概率,结合题意和状态定义可知:

由于 ,即使进行了除 的缩放操作,过多的状态数仍会导致 TLE

此时需要利用「返回值在正确答案 的范围内将被认为是正确的」来做优化(一下子不太好想到):由于四类操作均是等概率,单个回合期望消耗汤 A 的量为 ,消耗汤 B 的量为

因此当 足够大,操作回合足够多,汤 A 将有较大的概率结束分配,即当 足够大,概率值会趋向于

我们考虑多大的 能够配合精度误差 来减少计算量:一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值(不超过 )。

Java 代码:

class Solution {
    public double soupServings(int n) {
        n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = 0.5;
        for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                double a = f[Math.max(i - 40)][j], b = f[Math.max(i - 30)][Math.max(j - 10)];
                double c = f[Math.max(i - 20)][Math.max(j - 20)], d = f[Math.max(i - 10)][Math.max(j - 30)];
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
            }
        }
        return f[n][n];
    }
}

Python 代码:

class Solution:
    def soupServings(self, n: int) -> float:
        n = min(200, math.ceil(n / 25))
        f = [[0] * (n + 10for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = 0.5
        for j in range(1, n + 10):
            f[0][j] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                a, b = f[max(i - 40)][j], f[max(i - 30)][max(j - 10)]
                c, d = f[max(i - 20)][max(j - 20)], f[max(i - 10)][max(j - 30)]
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
        return f[n][n]
  • 时间复杂度: ,其中 为验算值
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.808 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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