复流形
2023/01/22阅读:13主题:蓝莹
kahler流形
Kahler流形
设 是一个具有Hermite度量的Hermite流形, 为其基本形式, 它是一个 的实形式, 如果 , 则称这个Hermite流形实Kahler流形. 相应的Hermite度量称为Kahler度量.
K"ahler流形相当于加上 限制条件的Hermite流形,自然具有比Hermite流形更好的几何性质. 另外,K"ahler流形大量存在. 平时接触到的复流形大都是K"ahler流形.
定义: 设 都是复流形. 是一个全纯浸入,即 是局部一一映射,也即这个 映射的Jacobi矩阵
在 上处处成立,其中, , 则称 是 的复子流形.
命题: , 是 的复子流形,则当 是K"ahler流形时,关于此K"ahler度量在 上诱导度量是K"ahler度量.
证明: 设 是一个 型外形式, 是一个全纯映射,则有
设
是其局部坐标表示. 现在
直接计算
这里
而
而这里的第二项实际上是等于0, 因为
完全类似的计算,可以说明
一个复流形能赋予一个Kahler度量就称为是Kahler流形. 现在复欧氏空间与复射影空间
命题: 设
是一个 维Hermite流形,其度量表示维 , 其基本形式 ,则下面条件等价 (1)
是K"ahler流形, 即 ; (2)
. (3)对
, 存在一个 与 上的实函数 , 使得 (4)设
是由 形式组成的标架场, , 其中 是关于标架场 的Hermite联络, 是 形式, 称为是这个Hermite度量的挠率形式,则 . (5)用
记作这个Hermite度量相应的Riemann度量的Levi-Civita联络,则有 , 其中, 是复结构,或可以说,对
注: (2)中的两个等式实际上是等价的,因为它们中的一个市另一个的共轭,因此,实际上只要其一成立就可以了.
证明: (1)
由于
显然,(2)成立, 则(1)亦成立,因此(1)
(1)
因为
同理,
今取实函数
因此
下面证明(1)