Kahler流形

设 是一个具有Hermite度量的Hermite流形, 为其基本形式, 它是一个 的实形式, 如果 , 则称这个Hermite流形实Kahler流形. 相应的Hermite度量称为Kahler度量.

K"ahler流形相当于加上 限制条件的Hermite流形,自然具有比Hermite流形更好的几何性质. 另外,K"ahler流形大量存在. 平时接触到的复流形大都是K"ahler流形.

定义: 设 都是复流形. 是一个全纯浸入,即 是局部一一映射,也即这个 映射的Jacobi矩阵

在 上处处成立,其中, , 则称 是 的复子流形.

命题: , 是 的复子流形,则当 是K"ahler流形时,关于此K"ahler度量在 上诱导度量是K"ahler度量.

证明: 设 是一个 型外形式, 是一个全纯映射,则有

设

是其局部坐标表示. 现在 , 其中 的局部坐标表示为 , 下面我们证明

直接计算

这里

而

而这里的第二项实际上是等于0, 因为 关于 是对称的,而在 中是关于 反对称的,因此求和后,这项就恒等于0.

完全类似的计算,可以说明 . 因此有 . 现在对 上基本形式 也有 , 而另一方面,如果 上所取的Hermite度量为 ,则 所对应的基本形式就是 , 因而 , 则 上赋予的度量 就是一个Kahler度量.

一个复流形能赋予一个Kahler度量就称为是Kahler流形. 现在复欧氏空间与复射影空间 都是Kahler流形, 因而复欧氏空间与 的复子流形都是Kahler流形,而这些都是最常见与最重要的复流形.

命题: 设 是一个 维Hermite流形,其度量表示维 , 其基本形式 ,则下面条件等价

(1) 是K"ahler流形, 即 ;

(2) .

(3)对 , 存在一个 与 上的实函数 , 使得

(4)设 是由 形式组成的标架场, , 其中 是关于标架场 的Hermite联络, 是 形式, 称为是这个Hermite度量的挠率形式,则 .

(5)用 记作这个Hermite度量相应的Riemann度量的Levi-Civita联络,则有 , 其中, 是复结构,或可以说,对

注: (2)中的两个等式实际上是等价的,因为它们中的一个市另一个的共轭,因此,实际上只要其一成立就可以了.

证明: (1) (2)

由于 , 因此 . 对此式取共轭就得到

显然,(2)成立, 则(1)亦成立,因此(1) (2).

(1) (3) 因为 , 对 , 存在 , 取 充分小,使其在某个局部坐标邻域内, 不妨设

则由Poincare引理, 存在一个 , 使得 . 由 是实的,因此, 也是实的. 设 , . 由 , . 由

因为 是 形式, . 现取 ,则显然有 . 由Dolbeault引理,在 上存在 , 使得

同理, . 因此

今取实函数 , 则

因此 . 反之, 如果 成立,则显然(2)中的等式成立,因此(3) (2) (1).

下面证明(1) (4). 设 是一个(1,0)形式构成的局部标架场. 则有关于这个标架场的结构方阵 , 挠率形式为 . 如果有另一组标架场 , 是 阶光滑函数组成的非奇异方阵,其中 是关于标架场 的联络方阵,则对应于标架场 有结构方程 , 其中 .