2023年2月7日:拓扑群和商空间

拓扑群研究中的一个重要的操作就是构建商群.

给定一个半拓扑群 ,其单位元为 ,其上拓扑为 , 是 的闭子群. 用 来表示 关于 的所有左陪集构成的集合,并赋予其商拓扑, 是自然映射.

则

是 在点 中的邻域基, 是开映射, 是齐性空间.

证明: 是 中的开集 ,则 , 因为 是开集,再由商拓扑的定义知 是 中的开集,则 是开映射.

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如果 是 在 中的开邻域,则 是开集,且 .则存在 的开邻域 ,使得 ,则 .因为 是开集,则就证明了邻域基的存在.

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再证明 是齐性空间,对任意 ,定义映射

是双射:

若 ,则

.(即证明是单射)

而对任意 , 有 ,满足 .(即证明是满射)

又可知,对 , 是 的邻域基中的元素,其中U是 中单位元 的开邻域.

则 是开映射,则同理 是开映射,故 是同胚映射.(双射 的逆向 是开的,则 是连续的.)

对 ,则 就是所要构造的同胚映射,故而是齐性空间(homogeneous space).

注意到,在上面的讨论中有,

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因为 所有陪集 在 中闭,而 ,由商映射的定义,知 是闭集,所以 是 空间.

上诉 所定义的 的商拓扑是离散的,当且仅当, 是 中的开集(这样就成为了既开又闭集).

商空间和正则性

首先证明一个引理:

是拓扑群, 是 的闭子群, 是自然映射, 与 是 中单位元 的邻域,满足 ,则 .

证明 :对 ,有 则有

满足 , , 则 .

证明:注意到 是齐性空间,可以只讨论在 处的正则性.又对任一 的开邻域 ,有 的开邻域 ,使得 根据上一个引理,有 ,即证明原点处正则性.