切线问题

例: （江苏）如图, 已知圆 是椭圆 的内接 的内切圆, 其 中 为椭圆的左顶点.

(1) 求圆 的半径 ;

(2) 过点 作圆 的两条切线交椭圆于 两点, 证明: 直线 与圆 相切.

解: (1) 设 , 过圆心 作 于 交长轴于

由 , 得: ,

即

而点 在椭圆上,

由(1)、(2)式得 ，解得 或 （舍去）

(2) 设过点 与圆 相切的直线方程为:

则 , 即

解得

将(3)代入 , 得 , 则异于零的解为:

设 , 则

则直线 的斜率为:

于是直线 的方程为: 即

则圆心 到直线 的距离

故结论成立.