ASYMPTOTE

V1

2022/05/14阅读:13主题:山吹

上下极限

本篇文章参考了 Ross 的Elementary Analysis 一书,旨在复习数列的上下极限相关的内容.

上下极限和极限的关系

所谓数列的上极限和下极限的定义如下:

我们并没有限制数列 是有限的,也就是说,如果数列是上方无界的,他的上极限就是 :

这个数列是递减的.可以看出 .

下极限小于等于上极限,证明如下:

上下极限和极限有下面关系(Theorem 10.7):

即极限确定(一个实数,或是 ),则上下极限和极限相同;反之,上下极限相同,则数列的极限确定.

(1)的证明如下: 首先,极限为 : 其次,极限为实数: 又因为,下极限小于等于上极限,所以得证.

(2)的证明如下:

数列上下极限和子列极限的关系

单调子列逼近上下极限:

首先有定理说明了,一定存在一个单调递增的子列,它的极限是上极限,类似可以说明下极限的情况.

首先如果数列无上界,则存在一个趋向正无穷的子列: 这是因为: 可见这样构造的子列是单调递增的,且极限为 ,此时上极限也为 (为什么?).同样的,如果无下界的话,就会有单调的子列极限为 .

我们还有说明的是,如果数列有上界,则也有单调的子列极限为上极限.(同样可以得到有下界时对于下极限的情况.)

因为有上界,所以上极限是有限实数,设为 ,

上下极限和子列极限的关系

下面的定理说明了,上下极限和子列极限的关系,即子列极限构成的集合 非空; 的上确界等于上极限,下确界等于下极限;极限存在当且仅当 中的元素只有一个: 证明如下:
(i) 根据上诉的Theorem 11.7,知道至少有子列的极限是上下极限,所以 不为空.
(ii)需要用到Theorem 10.7 (iii) 由定理Theorem 10.7可以得到.

分类:

数学

标签:

高等数学

作者介绍

ASYMPTOTE
V1