抛射体的运动

在有加速度的运动中，在地球表面附近的抛射体运动是最简单的一种运动，这种运动的加速度是一个常矢量。

作为矢量表示法以及物体沿弯曲轨道运动的一个简单例子，我们讨论这样一个问题：在离地面一定高度处朝水平方向抛出一个球，如下面的左图所示。在这样一个问题中，假定球被抛出的一瞬间按下计时器，并且这样选择坐标系：以抛出点为坐标系的原点，抛射方向为 轴，竖直向下的方向为 轴。假定球被抛出后，沿着一条曲线轨道运动，在 时刻处于位置 。在这个运动中，有几个已知的物理量：下落球体的初始位置 ，初速度 ，球在任意时刻的加速度 。既然已经知道加速度随时间的改变(在我们现在这个问题中，加速度与时间无关)，就很容易得到它的一个原函数 ，由此得到这个球的速度

利用所得到的速度矢量可以进一步求出

由此得到平抛球体的位置与时间的函数关系

由于我们现在讨论的这个例子比较简单，可以直接用矢量等式的方式写出运动的微分方程并进行求解。如果问题比较复杂，也可以先将各个矢量按坐标轴分解，然后求解以分量等式的方式写出的微分方程，这种方式我们今后会有机会遇到。不过，不管是以何种方式求解，最终都会得到位置矢量的各个分量(也就是位置的坐标)与时间的函数关系：

把这两个关系中的时间变量消去就得到

从数学上看，这是一条抛物线。也许，这正是这种曲线被称为“抛物线”的缘由吧。

一个更复杂的例子是：在地面上以角度为θ的倾角发射一个炮弹，如上面的右图所示。在这个问题中，由于炮弹是向上方倾斜射出的，因此，选择炮弹射出点为坐标原点，水平方向并朝向发射的前方为 轴，竖直向上的方向为 轴。在这种选择下，炮弹的初始位置 ，初速度

任意时刻的加速度 。由加速度的表达式得到 ，如果选择炮弹发射的瞬间作为计时的起点，则炮弹在任意时刻的速度

由速度的这个表达式可以进一步得出

由于 ，因此，炮弹在任意时刻的位置

位置矢量的分量为

将两个分量中的时间变量消去，就得到两个坐标之间的关系

结果发现，炮弹的轨迹也是一条抛物线，但是，这条抛物线的顶点并不在原点处。利用求函数的极大值的方法(如果你在高等数学中还未学到这个方法，不要紧，利用中学的方法就可以做到：用配方法将上述等式的右边转换成完全平方就行。)可以求出炮弹在

处达到最高点，这时的高度为

当炮弹落到地面上时， ，由此可反解出炮弹的射程

正好等于炮弹到达最高点时水平距离的两倍，它显示出炮弹的上升过程和下落过程是对称的。这个结果明确地告诉我们，以 的角度发射的炮弹能够达到最远的射程。