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2022/10/12阅读:6主题:自定义主题1

抛射体的运动

在有加速度的运动中,在地球表面附近的抛射体运动是最简单的一种运动,这种运动的加速度是一个常矢量。

作为矢量表示法以及物体沿弯曲轨道运动的一个简单例子,我们讨论这样一个问题:在离地面一定高度处朝水平方向抛出一个球,如下面的左图所示。在这样一个问题中,假定球被抛出的一瞬间按下计时器,并且这样选择坐标系:以抛出点为坐标系的原点,抛射方向为 轴,竖直向下的方向为 轴。假定球被抛出后,沿着一条曲线轨道运动,在 时刻处于位置 。在这个运动中,有几个已知的物理量:下落球体的初始位置 ,初速度 ,球在任意时刻的加速度 。既然已经知道加速度随时间的改变(在我们现在这个问题中,加速度与时间无关),就很容易得到它的一个原函数 ,由此得到这个球的速度

利用所得到的速度矢量可以进一步求出

由此得到平抛球体的位置与时间的函数关系

由于我们现在讨论的这个例子比较简单,可以直接用矢量等式的方式写出运动的微分方程并进行求解。如果问题比较复杂,也可以先将各个矢量按坐标轴分解,然后求解以分量等式的方式写出的微分方程,这种方式我们今后会有机会遇到。不过,不管是以何种方式求解,最终都会得到位置矢量的各个分量(也就是位置的坐标)与时间的函数关系:

把这两个关系中的时间变量消去就得到

从数学上看,这是一条抛物线。也许,这正是这种曲线被称为“抛物线”的缘由吧。

一个更复杂的例子是:在地面上以角度为θ的倾角发射一个炮弹,如上面的右图所示。在这个问题中,由于炮弹是向上方倾斜射出的,因此,选择炮弹射出点为坐标原点,水平方向并朝向发射的前方为 轴,竖直向上的方向为 轴。在这种选择下,炮弹的初始位置 ,初速度

任意时刻的加速度 。由加速度的表达式得到 ,如果选择炮弹发射的瞬间作为计时的起点,则炮弹在任意时刻的速度

由速度的这个表达式可以进一步得出

由于 ,因此,炮弹在任意时刻的位置

位置矢量的分量为

将两个分量中的时间变量消去,就得到两个坐标之间的关系

结果发现,炮弹的轨迹也是一条抛物线,但是,这条抛物线的顶点并不在原点处。利用求函数的极大值的方法(如果你在高等数学中还未学到这个方法,不要紧,利用中学的方法就可以做到:用配方法将上述等式的右边转换成完全平方就行。)可以求出炮弹在

处达到最高点,这时的高度为

当炮弹落到地面上时, ,由此可反解出炮弹的射程

正好等于炮弹到达最高点时水平距离的两倍,它显示出炮弹的上升过程和下落过程是对称的。这个结果明确地告诉我们,以 的角度发射的炮弹能够达到最远的射程。

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其他

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物理

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