ASYMPTOTE
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2023/02/09阅读:39主题:山吹
2023年2月8日:群同构基本定理
2023年2月8日:群同构基本定理
在介绍接下来的商拓扑群内容之前,先来复习一下群的同构基本定理.
第一同构基本定理
令 是群同态,其核(kernel)与像(image)分别为 ,则 是 的正规子群, 是 的子群.
则存在一个自然同构(为啥叫做自然同构?和做商有关吗?)
详细的证明如下(https://people.reed.edu/~jerry/332/09isom.pdf):

可以用如下关系图来描述这个定理:

第二同构基本定理
是群, 是 的子群, 是 的正规子群,则存在自然同构
可以看出首先要证明 是 的正规子群,为此先证明 是 的子群.
对任意的 ,
又可证明 ( ),同理可证
则 .
再证明 是 的正规子群,这是显然的.
还容易验证 是 的正规子群.
若有映射
注意到该映射是满同态,且其核为
则根据第一同构基本定理,有
第三同构基本定理
是群, 是 的正规子群, 是 的子群并且是 的正规子群.则
并且存在自然同构
证明如下:

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