2023年2月8日:群同构基本定理

在介绍接下来的商拓扑群内容之前,先来复习一下群的同构基本定理.

第一同构基本定理

令 是群同态,其核(kernel)与像(image)分别为 ,则 是 的正规子群, 是 的子群.

则存在一个自然同构(为啥叫做自然同构？和做商有关吗?)

详细的证明如下(https://people.reed.edu/~jerry/332/09isom.pdf):

可以用如下关系图来描述这个定理:

第二同构基本定理

是群, 是 的子群, 是 的正规子群,则存在自然同构

可以看出首先要证明 是 的正规子群,为此先证明 是 的子群.

对任意的 ,

又可证明 ( ),同理可证

则 .

再证明 是 的正规子群,这是显然的.

还容易验证 是 的正规子群.

若有映射

注意到该映射是满同态,且其核为

则根据第一同构基本定理,有

第三同构基本定理

是群, 是 的正规子群, 是 的子群并且是 的正规子群.则

并且存在自然同构

证明如下: