LC振荡电路的振荡周期

1. 教材内容展示

如图所示，在电容器充满电，开关打到b时，电容器极板上上的电荷通过电感先放电，电荷量减少，电流增大，电场能向磁场能转化，当电流最大时，放电完毕，接着反向冲电，磁场能向电场能转化，此后方向充分一次，完成一周，这个周期就是 振荡电路的振荡周期，也是形成电磁波的周期，单位时间完整这种周期的个数就是频率。

关于LC振荡电路的振荡周期，在选择性必修二第四章第1节中是这样给出的：

思考与讨论 电容较大时，电容器充电、放电的时间会长些还是短些？线圈的自感系数较大时，电容器的充电、放电的时间会长些还是短些？根据讨论结构，定性分析LC电路的周期（频率）与电容C、电感L的关系。

理论分析表明，LC电路的周期与电感L、电容C的关系是

这跟直接给没什么区别，你说，不经过实验，我哪知道振荡周期与电容C电感L之间的关系？就算分析猜出正相关，也不知道跟LC的平方根成正比不是?比例系数还是$2\pi ,这就更无从说起了。

2. 类比法推导

根据振荡电路电流是充放电形成的，由电流的定义式知

而线圈中电流的变化在线圈中形成自感电动势

（1）（2）两式得

而不计电路中阻值，电感是理想电感的话，感应电动势等于电容器两极板间电压，即

（3）（4）两式合并，得

对照我们第一篇简谐运动的运动学方程推导，是不是还要印象？这个形式的位移关于时间的二阶微分方程

我们同样可以解出电量随时间变化的规律

,如下图所示

电流

其中

如下图所示

因此LC振荡周期