简谐运动受力推运动方程

简谐运动的回复力与位移成正比，方向与位移相反，动力学方程是：

它的运动学方程是

而且高中教材中先介绍后者，再介绍前者。运动方程确定为正弦函数的方法，也是颇费一番心思,用了数码相机和计算机绘制弹簧振子 图像的方法。为了验证所得图像是正弦函数规律，还用两种方法：方法一是测出图像振幅、周期，写出函数表达式，然后用刻度尺测量其他点的横纵坐标值，代入表达式验证成立。方法二是测出各个点的横纵坐标，将数值输入计算机作图，再用正弦函数图像拟合，看是否重合。

但是我们知道，动力学方程和运动方程描述的是同一个对象，理论上他们应该是可以互推的。这里就尝试给大家推一下。当然需要一点数学知识。

1. 微分方程法

简谐运动的回复力与位移关系

由牛顿第二定律也可写成

由运动学可知

(1)(2)可得

(3)式是二阶齐次常微分方程,它的特征方程是

其特征解就是

其中， , 所以微分方程的通解就是

由辅助角公式得

即

其中

2.能量守恒法

振动系统机械能守恒，有

解出

即

分离变量得

令 则两边积分得：

由 得 ,那么上式可转化为

解得

又 可得到 , 代入得

再两边同时除以 ，再取正弦，得

其中 ,故

令 ，则简谐运动的方程为