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2022/11/21阅读:35主题:默认主题

带通采样定理及其公式推导

前言

2022年电赛F题-信号调制度测量装置说明中提到带通采样定律。

低通采样定理在《信号与系统》教材中进行了详细的讨论,但未对带通信号的采样定理进行描述,国内樊昌信和曹丽娜老师编写的《通信原理》第10章第2小节有所描述,但没有详细的公式推导,容易给初学者产生超过该最低采样频率即不会产生频谱混叠的假象


一、采样定理?

芯片只能处理数字信号,而现实生活中的很多信号是模拟信号,因此需要将模拟信号转换为数字信号。在转换过程中需要三个步骤:采样、量化、编码

采样:又称为抽样或取样,把时间连续的信号转换为时间不连续的脉冲。该脉冲信号称为采样信号,采样信号在时间轴上是离散的,但在幅度(y轴)上仍是连续的。把采样信号变为在时间上离散,在幅度上也离散的过程叫作量化。

量化:是一个数值分层过程,即四舍五入过程。

编码:是将量化后的数字信号的幅值,变换成一组组对应的二进制数组。

第一步的采样最为关键,关系到模数转换,再到数模转换。经过几次变换,传输的信号还要保持不变,这样的通信才算完整可靠。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。 其采样频率能捕获连续时间信号的所有信息。

1.低通采样定理(奈奎斯特采样)

低通采样定理(奈奎斯特采样)是要求大于信号的最高上限频率的两倍

提示:此采样定理是万能的,理论上可利用此定理对带通信号采样。

2.带通采样定理

带通信号的采样频率在某时,小于低通采样频率也能无失真恢复原信号


二、频谱混叠

对一个连续时域信号,采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号。根据傅里叶理论,连续非周期信号对应的频域曲线是非周期连续的波形,而离散非周期信号对应的频域曲线是周期连续的波形。

所以采样本质就是对原信号进行周期性的频谱搬移。故采样频率没选好,就会使周期性频谱搬移过程中造成频谱混叠,既然频谱和原信号的频谱对不上了,故就无法无失真恢复原信号了,总之,频域波形不出现重叠是无失真传输的重要保障。 在这里插入图片描述 设采样角频率是 ,原信号的最高上限角频率是

由上图可见采样就是以周期 进行频谱搬移,显然, 就不会造成频率混叠,这就是奈奎斯特采样。物理上解释,一个频带受限信号波形不可能短时间产生独立的,实质的变化,最高变化速度受最高频率分量的限制,因而为了保留这一频率分量的信息,故一周期内至少采样两次。


三、带通采样定理

奈奎斯特采样定理讨论的是频谱分布在( 0, )上的基带信号的采样问题。但对于接收机,接收信号大多为调制的射频信号,射频信号的频率上限远高于基带信号的频率上限,且仅分布在有限的( , )范围内。

带通信号 上图为带通信号的频谱图(一般都是已调信号)

请添加图片描述 对带通信号采用低通抽样定理抽样,也不会造成频谱混叠,但会发现0~ 区间频谱没有使用,且一般 很大,所以采样率很高,大大降低了信道的利用率

现实生活中信号带宽 并不一定很宽可能为几M,但 可能为几十个G,AD也难以实现如此高的采样率,这时,低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求,从而催生了带通采样的应用。

带通采样定理:设带通信号频带仅在( ~ )之间,信号带宽即为 ,则最小采样速率 ,其中 的小数部分, 的整数部分 在这里插入图片描述 现推导带通采样定理: 由于带限信号频谱具有轴对称性,故只需分析一边。如上图,为避免频谱混叠,

不难求得采样频率 的取值范围 ,( 为非负整数,其含义是m次频移)

显然 存在的条件是 ,化简可知 ,( <->向下取整)

的意义:在[ ~ ]范围内容纳的频谱数 解释: 设 在[ ~ ]范围内最多容纳的频谱数, 必须为整数 则 ,即

现推导最小采样频率: 最小采样频率即为 ,且

①当 不是带宽B的整数倍时,可用 表达,其中 的整数部分, 的小数部分

②当 是带宽B的整数倍时,可用 的整数部分 同理可知,


四、带通采样的限制条件

只允许在其中一个频带上存在信号,而不允许在不同的频带同时存在信号,否则将会引起信号混叠。


五、误区

本人建议在利用带通采样的时候,用不等式 确定采样频率。

千万不要也不能理解为采样频率超过最小值 后,就不会产生频谱混叠。 带通采样定理的采样频率的取值是不连续的分段区间,故应注意与低通信号的最小采样频率进行区别理解。


六、总结

带通采样的核心就是频谱搬移,搬移到低频带上进行采样。故带通采样大大降低了所需的采样频率,为后面的实时处理奠定了基础。另外,当对于一个频率很高的射频信号采样时,如果采样频率设的太低,对提高采样量化的信噪比是不利的。所以,在可能的情况下,带通采样频率应该尽可能选的高一些,使瞬时采样带宽尽可能宽。


七、参考资料

Cheeky_man.低通采样定理与带通采样定理

数字化的重要理论:带通采样定理

[1]王兵锐,张新刚,马晓普.通信教学研究中带通采样的统一推导与验证[J].现代信息科技,2019,3(24):55-57.DOI:10.19850/j.cnki.2096-4706.2019.24.017.

[2]黄喜军,陈辉金.带通信号采样定理的教学浅析[J].电气电子教学学报,2011,33(04):104-105.

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其他

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教育

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南阳理工学院