极坐标、欧拉公式及复数单位根

1.1 极坐标

题目：

椭圆 .记椭圆右焦点坐标为 ，从点 引 条射线，分别交椭圆于点 ， 逆时针排列。且 ，探讨 是否为定值？

解答： 以椭圆右焦点为极坐标原点，以直角坐标系中的 轴右半轴为极坐标系中的极轴，写出椭圆的极坐标方程：

其中 为半通径， 为离心率。即 . 且 表示椭圆上一点到右焦点的距离， 表示该点与极轴的夹角。

不妨设 与极轴的夹角为 ，则 与极轴夹角为

则有：

下面来求解 .记 .

则：

因此可得：

1.2 欧拉公式及复数单位根

事实上，如果了解过复数及单位根，求解 的过程会很轻松。首先展开：

令

则由复数运算法则知：

因此， 是方程 在复数域上的 个根。则由代数基本定理可得：

即有：

因此不难得出：

因此有：

同理，我们也可以得出：