
傲天居士
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2022/09/30阅读:49主题:默认主题
强基计划数学专题-极坐标与欧拉公式
极坐标、欧拉公式及复数单位根
1.1 极坐标
题目:
椭圆 .记椭圆右焦点坐标为 ,从点 引 条射线,分别交椭圆于点 , 逆时针排列。且 ,探讨 是否为定值?
解答: 以椭圆右焦点为极坐标原点,以直角坐标系中的 轴右半轴为极坐标系中的极轴,写出椭圆的极坐标方程:
其中 为半通径, 为离心率。即 . 且 表示椭圆上一点到右焦点的距离, 表示该点与极轴的夹角。
不妨设 与极轴的夹角为 ,则 与极轴夹角为
则有:
下面来求解 .记 .
则:
因此可得:
1.2 欧拉公式及复数单位根
事实上,如果了解过复数及单位根,求解 的过程会很轻松。首先展开:
令
则由复数运算法则知:
因此, 是方程 在复数域上的 个根。则由代数基本定理可得:
即有:
因此不难得出:
因此有:
同理,我们也可以得出:
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