极坐标、欧拉公式及复数单位根

1.1 极坐标

题目：

椭圆 .记椭圆右焦点坐标为，从点引条射线，分别交椭圆于点，逆时针排列。且，探讨是否为定值？

解答： 以椭圆右焦点为极坐标原点，以直角坐标系中的轴右半轴为极坐标系中的极轴，写出椭圆的极坐标方程：

其中为半通径，为离心率。即 . 且表示椭圆上一点到右焦点的距离，表示该点与极轴的夹角。

不妨设与极轴的夹角为，则与极轴夹角为

则有：

下面来求解 .记 .

则：

因此可得：

事实上，如果了解过复数及单位根，求解的过程会很轻松。首先展开：

令

则由复数运算法则知：

因此，是方程在复数域上的个根。则由代数基本定理可得：

即有：

因此不难得出：

因此有：

同理，我们也可以得出：