傲天居士

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2022/09/30阅读:42主题:默认主题

强基计划数学专题-极坐标与欧拉公式

极坐标、欧拉公式及复数单位根

1.1 极坐标

题目:

椭圆 .记椭圆右焦点坐标为 ,从点 条射线,分别交椭圆于点 逆时针排列。且 ,探讨 是否为定值?

解答: 以椭圆右焦点为极坐标原点,以直角坐标系中的 轴右半轴为极坐标系中的极轴,写出椭圆的极坐标方程:

其中 为半通径, 为离心率。即 . 且 表示椭圆上一点到右焦点的距离, 表示该点与极轴的夹角。

不妨设 与极轴的夹角为 ,则 与极轴夹角为

则有:

下面来求解 .记 .

则:

因此可得:

1.2 欧拉公式及复数单位根

事实上,如果了解过复数及单位根,求解 的过程会很轻松。首先展开:

则由复数运算法则知:

因此, 是方程 在复数域上的 个根。则由代数基本定理可得:

即有:

因此不难得出:

因此有:

同理,我们也可以得出:

分类:

数学

标签:

数学

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