代数簇

本节介绍代数簇的概念,先引入一些一般的记号.

= 个变量 的复系数多项式环;

中由 生成的理想.

, 个变量 的 次齐次多项式组成的线性空间;

, 个变量 的各次齐次多项式生成的分次代数;

, 中由 生成的齐次理想, 这里 . 易验证由 生成的齐次理想为

定义: 一个仿射代数簇是 上的形如

的子集, 这里 . 特别地,如果 , 称为仿射代数超曲面, 这时 称为 的次数. 中的仿射代数超曲面称为平面仿射代数曲线.

定义: 一个射影代数簇(简称代数簇)是 中形如

的子集, 这里 . 因为

此定义是合理的.显然 可以写成

这里 . 特别地,如果 , 称为射影代数超曲面,这时 称为 的次数, 中的射影代数超曲面称为平面射影代数曲线,简称平面代数曲线.

可以用标准方式嵌入 :

这时 中的仿射代数簇与 中的射影代数簇之间存在着确定的对应关系.

“

定理: 设 以标准方式嵌入 . 这时 中的任意仿射代数簇 以确定的方式对应着 中的一个射影代数簇 , 使得

反过来, 中的任意射影代数簇 也以确定的方式决定 中的一个仿射代数簇 , 使得

”

证明: 任给仿射代数簇

令

则射影代数簇

满足

反过来,对于射影代数簇

令

则仿射代数簇

满足

注: 如果不计 这样的分支,上述对应关系是一对一的.

习题: 画出曲线

的实图形,这里 是实数,满足

如果 是实系数多项式,

是由 定义的仿射代数簇,我们把 称为 的实图形. 同样的,对于由实系数齐次多项式定义的射影代数簇

我们把 称为 的实图形.

定义: 给定 中的射影超曲面

我们可以作因式分解

这里 是不可约齐次多项式.如果不计非零常数因子,这种分解是唯一确定的.相应于这种分解式,我们记

这里

称为是 的不可约分支, 称为是 含于 中的重数.

特别地,如果 本身已是不可约的,则称 为不可约超曲面.

例: 考虑 次平面代数曲线 .

(a) , 是线性齐次函数, 是一条直线.

(b) , 有两种情形:

(1) 不可约,则 是不可约圆锥曲线,所有这样的曲线都是射影等价的,即对于任两条这样的曲线 和 ,存在 的线性自同构 , 使得 .

(2) 可约,则 , , 这时或者

是两相交直线,或者

是两重合直线,即一直线计算两次.

习题: 试证任意两条不可约圆锥曲线 和 都是射影等价的.

如下面定理所指出,平面代数曲线的次数有明确的几何意义.

“

定理: 设 是 次代数曲线( ), 则对于任意一条一般直线(即不是 的一个分支的直线) 都有

”

这里 表示 与 的交点个数(重交点重复计数).

证明: 经过适当的线性变换可以假定

因为 不含于 , 不能整除 , 必要时再经过形如

的坐标变换( 是适当的复数),则可设

我们胜率的是含 较低次的项. 与 的交点由方程

给出. 我们有

设

则

而 , 所以

这样,我们得到