代数方程进阶(7)

数域上的次方程，如果方程的根可以由以下方式来确定，则称该方程是根式可解的：

如此一直将数加入到数域中去，直到得到一个数域，使得所求方程的根也属于数域，且在该数域上是可约的。其中，根指数均为素数。

值得注意的是，根指数均为素数并不意味着对数域有所限制，因为任何根指数为合数的开方都可以转化为根指数为素数的逐次开方。例如，。

本来这个定义在上一篇时就该给出的，但应该影响不大。

证明：

由于方程的次数为奇数，所以它至少有一个实根。根据定理5^[1]，可以设这个实根为

其中，，均属于某个数域。

现在进行分类讨论：I. 是实数；II. 是虚数。

I. 由于是实数，可以假设是实数。此时，的共轭复数

其中，是的共轭复数，也属于数域。

由于是实数，所以，即

根据推论1^[2]可知，对于每个下标都有。因此，也都是实数。

此外，根据定理5^[3]有

由于与互为共轭复数，所以与互为共轭复数。

故方程有一个实根和个共轭复根。

II. 当是虚数时，可以用实数代替之前的。

如果在数域上，方程是可约的，那么将会得到情形I的结果。

当在数域上不可约，而在数域上是可约的时，由可知

因为，所以

在上述方程中，除了以外，所有的数均属于数域。根据阿贝尔辅助定理可知，方程在数域上，所以可以用的任意一个根来替换上述方程中的。

因此，由于

得到

即

因此，的所有根都是实数。

综合情形I和II可知，原命题得证。

证明：

由于和为可被素数整除的正整数，且满足不能被整除，根据舍内曼定理^[4]可知，所以该方程在有理数域上是不可约的。另外，由于，所以该方程有3个实根。根据克罗内克定理可知，方程是根式不可解的。

显然，这是克罗内克定理的推论。

[1]

代数方程进阶(6): https://mp.weixin.qq.com/s/xYjaETcUt--sipg6jJrp8w

[2]

代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g

[3]

代数方程进阶(6): https://mp.weixin.qq.com/s/xYjaETcUt--sipg6jJrp8w

[4]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/Z4zUtJ6yN-ZZi5VJYZJcBA