代数方程进阶(7)

代数方程进阶(7)

1 根式可解的定义

数域 上的 次方程 ，如果方程的根可以由以下方式来确定，则称该方程是根式可解的：

• 1. 确定 上的一个数 的 次方根 ，且 不是 上任何数的 次幂，将 代入到 中，建立一个新的数域 ；
• 2. 确定 上的一个数 的 次方根 ，且 不是 上任何数的 次幂，将 代入到 中，建立一个新的数域 ；
• 3. 确定 上的一个数 的 次方根 ，且 不是 上任何数的 次幂，将 代入到 中，建立一个新的数域 ；
• ……

如此一直将数 加入到数域中去，直到得到一个数域 ，使得所求方程的根也属于数域 ，且在该数域上 是可约的。其中，根指数 均为素数。

值得注意的是，根指数均为素数并不意味着对数域有所限制，因为任何根指数为合数的开方都可以转化为根指数为素数的逐次开方。例如， 。

本来这个定义在上一篇时就该给出的，但应该影响不大。

2 克罗内克定理

• 对于一个有理数域上的奇素数次代数方程，如果它是根式可解的，那么该方程或者仅有一个实根，或者仅有实根。

证明：

由于方程 的次数为奇数，所以它至少有一个实根。根据定理5^[1]，可以设这个实根为

其中， ， 均属于某个数域 。

现在进行分类讨论：I. 是实数；II. 是虚数。

I. 由于 是实数，可以假设 是实数。此时， 的共轭复数

其中， 是 的共轭复数，也属于数域 。

由于 是实数，所以 ，即

根据推论1^[2]可知，对于每个下标 都有 。因此， 也都是实数。

此外，根据定理5^[3]有

由于 与 互为共轭复数，所以 与 互为共轭复数。

故方程 有一个实根和 个共轭复根。

II. 当 是虚数时，可以用实数 代替之前的 。

如果在数域 上，方程 是可约的，那么将会得到情形I的结果。

当 在数域 上不可约，而在数域 上是可约的时，由 可知

因为 ，所以

在上述方程中，除了 以外，所有的数均属于数域 。根据阿贝尔辅助定理可知，方程 在数域上 ，所以可以用 的任意一个根 来替换上述方程中的 。

因此，由于

得到

即

因此， 的所有根都是实数。

综合情形I和II可知，原命题得证。

3 一个例子

• 对于五次方程 ，当 和 为可被素数 整除的正整数，且满足 不能被 整除，且 时，该方程是根式不可解的。

证明：

由于 和 为可被素数 整除的正整数，且满足 不能被 整除，根据舍内曼定理^[4]可知，所以该方程在有理数域上是不可约的。另外，由于 ，所以该方程有3个实根。根据克罗内克定理可知，方程 是根式不可解的。

4 阿贝尔不可解定理

• 一般五次及更高次的代数方程是根式不可解的。

显然，这是克罗内克定理的推论。

5 后记

参考资料

[1]

代数方程进阶(6): https://mp.weixin.qq.com/s/xYjaETcUt--sipg6jJrp8w

[2]

代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g

[3]

代数方程进阶(6): https://mp.weixin.qq.com/s/xYjaETcUt--sipg6jJrp8w

[4]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/Z4zUtJ6yN-ZZi5VJYZJcBA