“放开”之后：基于SIR/SIRS传染病模型的预测

最近“放开”的风声甚嚣尘上。如果我们最终真的完全“放开”会怎样呢？疫情会如何发展？最后会有多少人感染？

我们可以首先从SIR模型出发做一个基本的分析。

SIR模型假设人群可以分为三类。S代表易感者，I代表感染者，R代表康复者。

易感者会被感染者传染，感染者恢复之后成为康复者。 康复者具有了免疫力，不会重新被感染，也不具有传染力。

我们将 时刻的易感者、感染者、康复者数量分别记为 ， 和 。

由于单位时间内的感染事件跟易感者和感染者的相互接触有关，所以可以假设感染数量和 与 的乘积成正比，即

感染者的数量变化来源于两部分，一是易感者被感染 （ ），二是感染者恢复。合理假设单位时间内恢复的数量和易感者数目成正比。那么：

康复者的数量变化来源于易感者恢复，因此：

把人口总数记为 ，那么各类人群的比例为：

令 ，那么根据推导的常微分方程可以得到：

目前国内感染新冠病毒的占比还很少。所以可以假设 , , 。

我们通过 来查看疫情的走势。

其中

其含义是一个感染者平均能够传染的易感者人数。如果 , ，疫情不会扩散。

如果 , ，疫情会扩散。但是当疫情发展到一定程度， 持续下降到低于 ，这时候 ，感染人数开始下降。

所以感染者比例 会先升后降。

当时间趋于无穷大，在稳定状态下， , , 都不再变化：

所以 ，感染者消失，最终只剩易感者和康复者，疫情结束。

的极限 是最终康复者的比例，这也是曾经感染过的人数比例。

根据 和 的方程：

即：

上式两边从时间 积到 ：

注意到 ，所以：

这是一个关于最终累积感染比例 的超越方程，但是可以通过二分法数值求解。

我们可以看到当 的时候， 。

而当 时， 随着 迅速增加。

据报道，目前流行的奥密克戎BF.7亚分支， 值可达 到 ，最终感染的比例几乎是 。

上述 SIR 模型没有考虑到反复感染的情况。这种情形下，我们可以拓展 SIR 模型到 SIRS 模型，允许康复者重新成为易感者而重复被感染。

上述常微分方程修改为：

这个常微分方程组可以通过数值求解。

以下算例显示，在有重复感染的情形下，感染者可能一直存在，疫情不会结束。最终奥密克戎可能会变成像感冒一样的存在。