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2022/12/06阅读:82主题:默认主题
“放开”之后:基于SIR/SIRS传染病模型的预测
最近“放开”的风声甚嚣尘上。如果我们最终真的完全“放开”会怎样呢?疫情会如何发展?最后会有多少人感染?
我们可以首先从SIR模型出发做一个基本的分析。
SIR模型假设人群可以分为三类。S代表易感者,I代表感染者,R代表康复者。
易感者会被感染者传染,感染者恢复之后成为康复者。 康复者具有了免疫力,不会重新被感染,也不具有传染力。
我们将 时刻的易感者、感染者、康复者数量分别记为 , 和 。
由于单位时间内的感染事件跟易感者和感染者的相互接触有关,所以可以假设感染数量和 与 的乘积成正比,即
感染者的数量变化来源于两部分,一是易感者被感染 ( ),二是感染者恢复。合理假设单位时间内恢复的数量和易感者数目成正比。那么:
康复者的数量变化来源于易感者恢复,因此:
把人口总数记为 ,那么各类人群的比例为:
令 ,那么根据推导的常微分方程可以得到:
目前国内感染新冠病毒的占比还很少。所以可以假设 , , 。
我们通过 来查看疫情的走势。
其中
其含义是一个感染者平均能够传染的易感者人数。如果 , ,疫情不会扩散。
如果 , ,疫情会扩散。但是当疫情发展到一定程度, 持续下降到低于 ,这时候 ,感染人数开始下降。
所以感染者比例 会先升后降。
当时间趋于无穷大,在稳定状态下, , , 都不再变化:
所以 ,感染者消失,最终只剩易感者和康复者,疫情结束。
的极限 是最终康复者的比例,这也是曾经感染过的人数比例。
根据 和 的方程:
即:
上式两边从时间 积到 :
注意到 ,所以:
这是一个关于最终累积感染比例 的超越方程,但是可以通过二分法数值求解。
我们可以看到当 的时候, 。
而当 时, 随着 迅速增加。
据报道,目前流行的奥密克戎BF.7亚分支, 值可达 到 ,最终感染的比例几乎是 。
上述 SIR 模型没有考虑到反复感染的情况。这种情形下,我们可以拓展 SIR 模型到 SIRS 模型,允许康复者重新成为易感者而重复被感染。
上述常微分方程修改为:
这个常微分方程组可以通过数值求解。
以下算例显示,在有重复感染的情形下,感染者可能一直存在,疫情不会结束。最终奥密克戎可能会变成像感冒一样的存在。
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