在三维空间中运动

当粒子在三维空间中沿任意形状的轨道运动时，通常用矢量描写各个运动学量。在这种情况下，位置、位移、速度和加速度等运动学量的定义与一维运动的情况类似。

当物体沿任意形状的轨道运动时，用矢量描写运动是方便的。为了用矢量描写粒子的运动，画一段从坐标原点指向粒子所在位置的有向线段，称之为粒子的位置矢量，简称位矢，用 表示。利用矢量的合成法则，可以将位置矢量分解成沿各坐标轴的三个分矢量的组合：

其中 是粒子所在位置的坐标。这个表达式被称为位置矢量的解析表达式。从这个表达式可以看到，位置矢量与坐标系的选择有关，坐标轴的朝向和坐标原点不一样，位置矢量就不一样。

有了位置矢量的概念，就可以进一步研究粒子的运动。假定一个粒子从原先的位置 移动到了一个新的位置 ，我们就说这个粒子发生了位移，位移用符号 表示。显然，位移是一个矢量，这从“它是由两个矢量相减得到的量”这一点就能够做出判断。从上面的示意图中我们再一次看到，与一维运动一样，位移与坐标系的原点的选择无关，也与粒子的运动过程无关，只取决于粒子运动时产生这个位移的始末位置。

有了位移，还需要知道产生这段位移所耗费的时间，才能确定粒子运动的快慢程度。假定粒子在 时刻处于位置 (在上面的示意图中就是 )，在经历了 时间后运动到 (在上面的示意图中就是 )，那么，它在 这段时间间隔内就有一个平均速度：

如果我们令 这段时间间隔无限地缩短，就得到粒子在 时刻的瞬时速度：

利用位置矢量的解析表达式以及三个单位矢量均与时间无关的性质，根据求导规则得到

结果发现，速度的三个分量正好就是《用矢量描写运动》那一节给出的结果。

在《粒子沿直轨道运动》一节中，我们曾经用一个简单的实例说明，在一般情况下，位移与路程并没有必然的关联。不过，在时间间隔趋于零的极限情况下，事情就不太一样了。由下一段的分析不难明白，在这种情况下，路程的微元与位移的微元的绝对值相等： 。这个等式的两边形式上除以时间间隔的微元，就得到以下等式：

等式的右边正是瞬时速度的大小，而等式的左边被称为瞬时速率，简称速率。速率等于速度的大小，这个结论同样适用于粒子沿直轨道运动的情况。

前面已经说过，位移是一个矢量。现在我们看到，速度是位移矢量除以一个标量性的时间间隔。所谓“标量”指的是只需要一个数值就能够完整地描写的物理量。显然，速度继承了位移的属性，也是一个矢量。那么，这个矢量指向何方呢？我们先来看看，从某一个位置开始，在一段有限的时间间隔 内，位移 的指向，这很容易从下面的示意图中看出。接着，我们将 缩短，结果发现， 的指向发生了改变，朝向更贴近运动轨迹的方向。如果不断地缩短 ，就会发现， 也不断地更贴近运动轨迹。由此可以判断，如果令 ，对应的 应该指向最贴近运动轨迹的方向。我们知道，过一条曲线的任意点所画出的所有可能的直线中，过该点的切线最贴近这条曲线。这就意味着，当 时，在所考虑的位置上， 沿着运动轨迹在该点的切线。而由上述逼近过程则容易判断， 或者 沿着运动轨迹的切线并指向前进的一方。于是，从近似的意义上说，在这一瞬间，粒子沿着弯曲轨道在该点的切线运动。

把上述分析过程应用到运动轨迹的每一个点上，我们就可以得出一个奇妙的结论：沿弯曲轨道的运动可以被分解成无数个沿无穷短的直轨道运动的叠加，当粒子运动时，这些无穷短的直轨道与运动轨迹相切并相互衔接，这样不断地发生改变，就构成了一条连续的和光滑的弯曲轨迹。

进一步还可以定义加速度的概念。假定粒子在 时刻的速度为 ，在经历了 时间后，速度为 ，则在这段时间间隔内，粒子的平均加速度被定义为

而瞬时加速度则被定义为

与速度的情况类似，加速度继承了速度的属性，是一个矢量。现在仿照对速度的讨论，我们来确定加速度的方向。我们先来看一段有限的时间间隔 。在 时段，粒子发生了位移 ，并有了一个速度改变量 。这个 可以通过这样的方法得到：利用矢量的平移不变性，把末速度做一个平移，使始末速度矢量的尾部相接，这样，从初速度的箭头处指向末速度的箭头处画出的有向线段就是 。从上面的示意图可以看出，初速度、末速度以及始末速度之差这三个矢量构成一个三角形。令 ，就可以判断 或者 的方向。结果发现，无论在所考察的轨道上的哪一个点，最终得到的 总是指向轨迹曲线的凹陷方向。如果运动是加速的， 就会朝向前进的方向倾斜，如果运动是减速的， 就会逆着前进的方向倾斜。稍后我们会进一步看到，把加速度按法向分量和切向分量进行分解，正好可以描写这个图象。