3.1模型

不同于CL模型。

3.1.1把环境坐标改写成简正坐标的形式

用的是，环境坐标之间的耦合矩阵 的本征态 ，来改写.（本征值是 ） 坐标改写，哈密顿量、约化密度矩阵跟着变。

初始条件在强耦合下并不合适，因为介入了人为平衡初态。解决方案是设初始是是完全相互作用的热态，卡农态。

不同Q代表不同的初始条件。下面我们讨论Q=1.

3.2把上面的初始密度矩阵、演化算符都写成影响泛函的形式

结合虚时间演化的环境轨迹，密度矩阵写成：

下图展示路径积分在两个维度的轨迹：

Z是为了归一化路径积分而，将全系统的配分函数除以环境的配分函数

3.2.1 计算环境路径积分

首先影响泛函，是包括全哈密顿量中，环境和环境相互作用

在简正坐标上进行因式分解，可以拆分成向前、向后、欧几里得演化算符。

影响泛函的形式写成：

3.2.2 影响泛函写成全指数的形式

上一节给出的路径积分形式，是指数二次积分。

写成矩阵的形式，可以快速地解析算出每个模式前面的因子系数 （全加起来就是前面提到的环境的配分函数）

经过这样的计算和抵消，影响泛函已经完全变成全指数的形式。

3.2.3 影响泛函的相位拆成虚实部

上一节已经写成矩阵形式，并进而写成全相位的形式。接下来对相位中各部分进行重新划分组，并分别进行积分。有三个部分 #影响泛函、密度矩阵， 都可以拆成，向前、向后、欧几里得三个部分的演化算符、密度矩阵。

[57] R. P. Feynman and F. L. Vernon. The theory of a general quantum system interacting with a linear dissipative system. Ann. Phys., 24:118, 1963.

[64] Hermann Grabert, Peter Schramm, and Gert-Ludwig Ingold. Quantum Brownian motion: The functional integral approach. Physics Reports, 168(3):115–207, 1988.

拆分后的形式中，重新提取出表示相互作用项的函数

单时间的影响相位形式是：

此时已经有了虚时间。

3.2.4简正坐标的逆变换，把影响泛函的形式，从简正坐标又变换回到位点坐标中

我们发现，不同于标准CL模型，模型中引入环境间相互作用的项，影响相位中的求和是个双重求和。这对后面引入随机场的维度数量又借鉴意义。

#哈密顿量、演化算符、影响泛函、运动方程都被拆成向前和向后两个。时序算符和反时序算符指示方向。

L是用上一节中的g，K，y， 写出来的。源于相互作用项。

此时，影响相位有两个缺陷，一个是在实时间和虚时间上的双积分（这表明这是一个非局域微分方程）。另一个是影响泛函的坐标无法拆解成我们想要的三项。因此我们引入随机场，将非局域的微分方程转变为局域的。

3.3双时间的HS变换

在实时间t和虚时间 上，加入随机场 。

1.之前推出的HS变换只是在实时间上，我们再拆解出虚时间，变成

！3.57中的影响相位和3.58中的指数，之间存在关联性。此处我们想看看二者有什么紧密的联系。

把HS变换应用到3.37 3.57 3.58中。根据3.57中指数的结构，我们我们引入的随机场，应该与位点指标i对应。并且实时间，我们需要两对随机过程。 （为实现我们的目的，我们将时间演化的中间格点，引入随机场。）

HS变换当中的函数k，与影响相位中的函数s，r，f对应起来。！！！这样影响泛函中就引入了随机。就是这样一个correspondence！

引入的随机数需要确保拆开的三个相位，和HS变换的右手边完全重合，进而对于随机数的关联性有要求

采用上述的关系，则写出

其中每个环境的格点都要在三个时间维度上取平均。

我们可以自由地选择随机噪声和C数.参考：

[70] H Kleinert and S V Shabanov. Quantum Langevin Equation From Forwardbackward Path-integral. Physics Letters A, 200(3-4):224–232, 1995. [71] K Tsusaka. Generalized quantum Langevin equations from the forwardbackward path integral. Phys. Rev. E, 59(5 Pt A):4931–8, 1999.

3.4将上面的随机影响泛函写到密度算符路径积分的形式中，就得到随机薛定谔方程

再补一下HS和格点拆分插随机数就行了。

3.4.3有效初始密度矩阵

3.5随机薛定谔方程

补充章节中 出现的各个符号

是谐振子耦合本征态