随机微分方程(SDE)

随机微分方程(Stochastic differential eqaution, SDE)是在常微分方程的基础上加入噪音项得到的，噪音项由布朗运动的增量刻画。

随机微分方程的形式如下：

其中， 为这个方程的解， 、 是两个函数， 是一个布朗运动。

这个方程的含义是 满足对于任意的 ，

随机微分方程的解的重要性质是马尔可夫性(Markov property)，其代表的含义是未来任意时刻 的分布都由当前的 状态决定（加入当前的时间是 ），而与过去的历史无关，即对于任意的函数 ，都存在函数 使得，

在Black-Scholes模型中，股票价格 的走势可以通过一个随机微分方程描述：

这等价于

股票的相对回报率为 ，波动率为 。

这个随机微分方程可以通过应用伊藤公式进行求解。考虑 ，由于 , ，所以：

注意到 ，所以：

这个结果的积分形式是：

那么，我们就求得了 的显式解：

这也被称为几何布朗运动(Geometric Brownian motion)。