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2022/12/06阅读:42主题:默认主题
随机微分方程(SDE)
随机微分方程(Stochastic differential eqaution, SDE)是在常微分方程的基础上加入噪音项得到的,噪音项由布朗运动的增量刻画。
随机微分方程的形式如下:
其中, 为这个方程的解, 、 是两个函数, 是一个布朗运动。
这个方程的含义是 满足对于任意的 ,
随机微分方程的解的重要性质是马尔可夫性(Markov property),其代表的含义是未来任意时刻 的分布都由当前的 状态决定(加入当前的时间是 ),而与过去的历史无关,即对于任意的函数 ,都存在函数 使得,
在Black-Scholes模型中,股票价格 的走势可以通过一个随机微分方程描述:
这等价于
股票的相对回报率为 ,波动率为 。
这个随机微分方程可以通过应用伊藤公式进行求解。考虑 ,由于 , ,所以:
注意到 ,所以:
这个结果的积分形式是:
那么,我们就求得了 的显式解:
这也被称为几何布朗运动(Geometric Brownian motion)。
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