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2022/06/25阅读:25主题:橙心

依概率收敛

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依概率收敛

1. 背景

假设我们在生产线上一个接一个地检查产品是否合格。记 为第 次检查中不合格的产品数量,它仅能取0和1,且 ,其中 为该产品的不合格率。这是一个伯努利实验序列,其对应着一个独立同分布(二项分布)的随机变量序列: ,记为 。如果考虑前 次检查中不合格品数 介于 间概率是多少?即

当然,由 可以算出此概率,但当 比较大时(如 )计算时比较困难的。那我们能否找到一个较为简单的随机变量 ,使用其分布(在 较大时)可以较容易地计算出上述概率的近似值,即 那么在什么条件下和在什么意义下,随机变量序列 可以收敛于随机变量

又如在上述伯努利实验序列中,前 次检查中不合格品发生的频率 对不合格品率 的偏差 是否可以任意小呢?当 比较小时肯定不行;可当 很大时情况会怎样呢?因此我们将研究随机序列 的极限状态。

2. 定义

定义:设 为一随机变量序列, 为一随机变量,如果对任意的 ,有

则称序列 依概率收敛于 ,记作

依概率收敛的含义是: 的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着 增大而愈来愈小。或者说,绝对偏差 小于任一给定量的可能性将随着 增大而愈来愈接近于1,即式(1)等价于

特别当 为确定性分布时,即 ,则称序列 依概率收敛于 ,即

3. 定理

3.1 定义

定义:设 是两个随机变量序列, 是两个常数。如果

则有

3.2 证明

证明: (1)因为

所以

由此可得 .类似可证

(2)为了证明 ,我们分几步进行:

i) 若 ,则有 这是因为对任意

ii) 若 ,则有 这是因为在 时,有

而当 时,结论显然成立。

iii) 若 ,则有 .这是因为有以下一系列结论: ,即 iv)由iii)及(1)知 从而有

(3)为了证明 ,我们先证: .这是因为对任意 ,有

这就证明了 ,再与 结合,利用(2)即得 . 由此定理可以看出,随机变量序列在概率意义上的极限(即依概率收敛于常数a)在四则运算下仍然成立。

4. 参考文献

[1] 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2019.

分类:

数学

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数学

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哈尔滨工业大学(深圳)