王二

V1

2022/03/21阅读:72主题:绿意

数学归纳法

谈谈数学归纳法

数学有一个特色 抽象 抽取诸多事物之间的共同特性。也正基于此,数学的结论才具有广泛的应用前景。因此,学习从个别的结果中归纳出一般性的结论无疑是必要的。

但所谓归纳出一般性的结论并不是单从几个特例的成立就下结论说一般的情形下也成立,而是必须予以证明的。这种一般性的结论常以定理或者公式的形式出现。为得到一般性的结论,数学发展出许多它独特的方法,其中之一就是数学归纳法。

高中数学课本上讲过数学归纳法,也有不少的数学参考书讲到数学归纳法,但是,我为什么还要要谈谈数学归纳法呢?因为在大学的教学过程中很多同学不善于利用或者搞不懂数学归纳法。

举一例

中学学习数学归纳法总认为学会了

"1对;假设 对,那么 也对"

的证明方法就满足了。比如

求证:

这个问题仿照上述的证法,步骤如下:

  1. 时,显然成立.
  2. 假设 时上式成立,即
  3. 接下来证明 成立,

因此,对于所有的自然数 ,等式都成立.(证毕)

上面的步骤是完整的,没有错误,但是,仔细想想,有两个地方会有疑惑。一是上面这个恒等式是怎么样得出来的,前人是怎么发现的?二是这样的证明为什么就正确了呢?它的逻辑基础是什么?

从观察法开始

平面上画 条线,最多能将平面划分多少个区域?计算公式是什么?

  • 在平面上画1条线,显然将平面分割区域的最大数目为2,即 avatar
  • 在平面上画2条线,将平面分割区域的最大数目为4,即 avatar
  • 在平面上画3条线,将平面分割区域的最大数目为7,即 avatar
  • 在平面上画4条线,将平面分割区域的最大数目为11,即 avatar 试验到此,你可能关心当直线是5条,6条,7条等的结果,这时,你会根据上述的四种情况的结果作这样的整理:

进一步猜测,当 时,

故猜测当有直线为 条时,

为了验证你这个猜测,你可能再做直线为5,6,7条时的试验,试验的结果也正和你意。为此,你觉得自己这个公式没有问题。这时,问题就来了:

你如何能肯定说一般当直线为 条时, 一定是 ? 凭什么?

你可能会说, 时都是正确的,甚至你做了 的试验,然后还是对的,这不就是可以了吗。

我反问,如果 时,你怎么知道是正确的?

你可能会说,那还不简单,直接在平面上画100条线数一下就行。

然而你要在平面上画100条线,在数分割区域的最大数目是几乎办不到的。因此每次靠试验来验证你的猜想,这种做法,不是数学的方法。数学的魅力是不需要你验证那么多次,直接可以证明:

不论 取多大的值, 一定等于

这便是数学归纳法.到这里,我们只探寻了公式一般是如何得出来的:

观察 特殊 归纳 猜想, 这个过程是不断反复的。

验证猜想

这里假设之前所提的数学归纳法的验证逻辑是正确的情况下,证明直线将平面分割成区域的最大数目的公式。步骤如下:

  1. 时,1条直线将平面分割成2个区域,因此 ,另外,
    成立.
  2. 假设 时上式成立,即设 条直线将平面分割成区域的最大数目是
  1. 现想让平面上的 条直线欲分割平面最多区域,可取其中 条直线使其分割成最多区域数 ,然后让第 条直线跟前述的 条直线均相交,此时,便将刚才分割的区域多分割出 个区域来,因此,共分割成

因此, 时也成立.(证毕)

证明的逻辑

数学归纳法含两个步骤:

1.验证 时是否成立;

2.假设 时成立,看看 时是否也成立.

这两个步骤成立,则可以说对一般 也成立. 对于初学的人而言,常见下列三点疑问:

1.为什么一定要 时成立?

2.假设 时成立而推出 时成立,这命题本身的意义为何?

3.为何肯定了上述两个步骤的结论便是证明了对任何自然数 而言,一般均成立.

针对这三个疑问,说明如下:我们知道一个有效的命题:

为真的意思是:假设 成立,那么必定 也成立.

但另外一方面,一个命题:若 ,要是 不成立,那么 成立也好,不成立也好,我们都说这个命题是真的。倘若如此,那么已知 不成立,这时根本无法推出 到底是成立或者不成立。那这样的真命题其实没什么用。

有了上面的说法,现在来看看数学归纳法证明的第2步骤:假设 时成立,看看 时是否成立,如果这个命题被证明为真,那意思就是说:如果 时成立的话, 时就成立.如果 时成立的话, 时就成立。以此类推,如果想知道 成立,只要看 成立。那如果要 成立,只要 成立,又以此类推下去,最后剩下的问题就是 时是否成立。

如果不能确定 是否成立,便就无法肯定“若 时成立,则 时也成立”这个命题的有效性。也就无法确定命题“ 时成立,则 时成立”的真假性。这样继续下去的话便得到一个结论:

不论 取值多少,我们均无法确定此时是否成立.(若 不成立,则 是否成立,无法判别)

所以验证 时成立这件事,对于步骤(2)中的命题的有效推演做了相当保证的基础。换句话说,光有步骤(2)的真命题,而无 时成立做基础,那么这个真命题是空的,无法有效的推演出任何结论。

另外,如果有了 时成立这件事作基础,并且命题“若 时成立,则 时也成立,其中 为任意自然数”也被证明为真,那么毫无疑问,要证明 ,或是任意一个自然数成立都是轻而易举的事情。这便回答了疑问3.

数学归纳法的原意就是如此。

参考资料

[1] 数学归纳法的逻辑基础. 叶东进

[2] 数学归纳法.华罗庚

文章说明

本人只是在阅读以上两人的文献时,整理的学习笔记而已。

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