淦数学

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2022/04/21阅读:25主题:草原绿

1957年高考数学题

试卷综述

本套试卷总计9个题目,有指数的计算、一元二次不等式的求解、三角方面有三道题、立体几何方面有2道题,有特色的的题目是:

  1. 第4道,这道题是在普通高中教科书(2019)人教A版必修二里面有出现,这道试题可以进行改编与引申,在后面的文章中会提及;

  2. 第5道,虽然是考察了异面直线的的有关知识,但是其本质是面面平行的性质的体现,做辅助线的方法很有代表性,可以一题多解,代表不同的思想;

  3. 第9道,将三角与三次方程结合到一起考察,很新颖,可以作为高三二轮复习的一道题。

具体如下表:

表格来自自己整理
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有训练价值的题目以及适用范围

表格来自自己整理
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看之前自己动手做一做呗:

  1. 化简

  2. 求适合不等式 的实数x的范围

  3. 求证

  4. 在四面体 中, 依次为棱 的中点,求证: 为一个菱形

  5. , 为异面直线, , 的公垂线, 为过 的中点且与 , 平行的平面, 上任一点, 上任一点 求证线段 被平面 二等分.

  6. 求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 的度数以及 的值.

正文

1.化简

【解题笔记】指数的运算,全部写成质因数指数幂形式,再根据指数幂运算法则计算即可。

  • 同类试题
    • 1953年第11题 化简

    • 1954年第1题 化简

2.求适合不等式 的实数x的范围

【解题笔记】新版人教A版教材里面,将一元二次不等式放到必修一第二章内容,一元二次不等式求解步骤可以概括为:化正、求解、取值

  • 同类试题

    • 1951年第9题 当 时,x的值的范围如何?

3.求证

【解题笔记】 利用倍角正切公式进行求解

  • 同类试题
    • 1952年第14题 方程 的通解x=?

    • 1953年第6题 若 ,求 的值。

    • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

4.在四面体 中, 依次为棱 的中点,求证: 为一个菱形

【解题笔记】课本原题啊,经典题目,新版人教A版必修二第134面例1,旁边的提问部分,直线与直线平行的新授课可以用

电子教材截图
电子教材截图

这道题目还可以进一步改编,改编如下:

  • 变式1 在四面体 中, 依次为棱 的中点,求证: 为一个矩形。

  • 变式2 在四面体 中, 依次为棱 的中点,求证: 为一个正方形

5.设 , 为异面直线, , 的公垂线, 为过 的中点且与 , 平行的平面, 上任一点, 上任一点 求证线段 被平面 二等分.

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】

法一:过直线 做平面 ,过点 ,与平面 分别交于点 , ,设 , 与平面 分别交于点 ,画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

由面面平行的性质定理即可知道线段 被平面 二等分.

法二:连接 交平面 于点 ,设 , 与平面 分别交于点 两点,由线面平行的性质定理可以得知 , ,画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

再根据平行线分线段成比例定理可以证明。

6.解方程组

【解题笔记】利用对数运算性质、指数幂运算性质,得到正式方程组,解整式方程组即可。

  • 同类试题
    • 1953年第10题 解

    • 1956年第6题 解方程组

7.设 的内切圆半径为 ,求证: 边上的高

【解题笔记】根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

连接 ,设 与内切圆的切点为 ,连接 ,画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

根据题意我们可以知道 ,根据倍角公式可以知道 ,再将 用角来表示, , , 之后再把切化为弦即可。

8.设 为锐角三角形,以 为直径作圆,并从 作此圆的切线 与圆切于 点,由在 边上取 ,并过 的垂线与 边的延长线交于 ,求证:

(1) .

(2) 的面积= 的面积.

【解题笔记】根据题意画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

相交于点 ,联结 ,如下图:

几何画板作图
几何画板作图

可知: ,再由切割线定理可知: ,根据题意 可证得第一问;

第二问:关键在说明

9.求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 的度数以及 的值.

【解题笔记】相信大家一来就是把 代入方程去求 的值,然而并不能求出来,该怎么办?利用多项式除法,把 除以 得到:

在这里不妨设 ,那么 为方程 的根,根据根与系数的关系以及三角形内角和定理,可以得出很多方程,进而这道问题得到求解

  • 三次方程类似题
    • 1950年第12题 设 为实数,已知方程 的一根为 ,求 的值。

    • 1952年第3题 若方程 的三根为1,-1, ,则c=?

分类:

数学

标签:

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