1957年高考数学题

试卷综述

本套试卷总计9个题目，有指数的计算、一元二次不等式的求解、三角方面有三道题、立体几何方面有2道题，有特色的的题目是：

1. 第4道，这道题是在普通高中教科书（2019）人教A版必修二里面有出现，这道试题可以进行改编与引申，在后面的文章中会提及；

2. 第5道，虽然是考察了异面直线的的有关知识，但是其本质是面面平行的性质的体现，做辅助线的方法很有代表性，可以一题多解，代表不同的思想；

3. 第9道，将三角与三次方程结合到一起考察，很新颖，可以作为高三二轮复习的一道题。

具体如下表：

有训练价值的题目以及适用范围

看之前自己动手做一做呗：

1. 化简

2. 求适合不等式 的实数x的范围

3. 求证

4. 在四面体 中， ， 、 、 、 依次为棱 、 、 、 的中点，求证： 为一个菱形

5. 设 , 为异面直线， 为 , 的公垂线， 为过 的中点且与 , 平行的平面， 为 上任一点， 为 上任一点 求证线段 被平面 二等分.

6. 求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 、 、 的度数以及 的值.

正文

1．化简

【解题笔记】指数的运算，全部写成质因数指数幂形式，再根据指数幂运算法则计算即可。

• 同类试题

  • 1953年第11题 化简

  • 1954年第1题 化简

2．求适合不等式 的实数x的范围

【解题笔记】新版人教A版教材里面，将一元二次不等式放到必修一第二章内容，一元二次不等式求解步骤可以概括为：化正、求解、取值

• 同类试题

  • 1951年第9题 当 时，x的值的范围如何？

3．求证

【解题笔记】 利用倍角正切公式进行求解

• 同类试题

  • 1952年第14题 方程 的通解x=？

  • 1953年第6题 若 ,求 的值。

  • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

4．在四面体 中， ， 、 、 、 依次为棱 、 、 、 的中点，求证： 为一个菱形

【解题笔记】课本原题啊，经典题目，新版人教A版必修二第134面例1，旁边的提问部分，直线与直线平行的新授课可以用

这道题目还可以进一步改编，改编如下：

• 变式1 在四面体 中， ， 、 、 、 依次为棱 、 、 、 的中点，求证： 为一个矩形。

• 变式2 在四面体 中， 且 ， 、 、 、 依次为棱 、 、 、 的中点，求证： 为一个正方形

5．设 , 为异面直线， 为 , 的公垂线， 为过 的中点且与 , 平行的平面， 为 上任一点， 为 上任一点 求证线段 被平面 二等分.

【解题笔记】

法一：过直线 做平面 ,过点 做 ，与平面 、 分别交于点 , ,设 , 与平面 分别交于点 ,画图如下：

由面面平行的性质定理即可知道线段 被平面 二等分.

法二：连接 交平面 于点 ,设 , 与平面 分别交于点 两点，由线面平行的性质定理可以得知 , ，画图如下：

再根据平行线分线段成比例定理可以证明。

6．解方程组

【解题笔记】利用对数运算性质、指数幂运算性质，得到正式方程组，解整式方程组即可。

• 同类试题

  • 1953年第10题 解

  • 1956年第6题 解方程组

7．设 的内切圆半径为 ，求证: 边上的高

【解题笔记】根据题意画出图形如下：

连接 ，设 与内切圆的切点为 ，连接 ，画图如下:

根据题意我们可以知道 ,根据倍角公式可以知道 ,再将 用角来表示， , , 之后再把切化为弦即可。

8．设 为锐角三角形，以 为直径作圆，并从 作此圆的切线 与圆切于 点，由在 边上取 ，并过 作 的垂线与 边的延长线交于 ，求证：

(1) .

(2) 的面积= 的面积.

【解题笔记】根据题意画图如下：

设 与 相交于点 ，联结 ， ， ,如下图：

可知： ，再由切割线定理可知： ，根据题意 可证得第一问；

第二问：关键在说明

9．求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 、 、 的度数以及 的值.

【解题笔记】相信大家一来就是把 代入方程去求 的值，然而并不能求出来，该怎么办？利用多项式除法，把 除以 得到：

在这里不妨设 ,那么 为方程 的根，根据根与系数的关系以及三角形内角和定理，可以得出很多方程，进而这道问题得到求解

• 三次方程类似题

  • 1950年第12题 设 、 为实数，已知方程 的一根为 ,求 、 的值。

  • 1952年第3题 若方程 的三根为1,-1, ,则c=？