性本Shine

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2022/05/03阅读:17主题:自定义主题1

修术 | 数学 | 复数、积分变换、卷积

01

复数

参考资料:虚数不虚

复数的完备性

正整数Z∈自然数N∈有理数Q∈实数R∈复数C,人们对数集的认识一直拓张到复数域为止,复数经过所定义的运算无法得到新的数,而实数在运算过程中可能会计算得到复数(二次方程无解的情况)。

至于说诸如数是怎么样被认识的,以及数客观存在吗这些烧脑的问题,就交给哲学家吧。对于工科生而言,只需要运用数学家创造好的工具去改变世界即可。

复数的表达

在实数域,数集可以形象化理解为一条数轴;加上复数,这条数轴就变成了一个平面,称为复平面

从几何上理解,可以将复数视为向量,因此很显然地(即两个向量之和等于某个方向的单位向量乘以一个长度)得到复数的两种表达👆,并通过欧拉公式联系两者。

欧拉公式

基于👆论述,用几何去理解欧拉公式是非常显而易见的,使用泰勒公式也可以从代数上推导之。

02

傅里叶级数与傅里叶变换

参考资料:傅里叶分析之掐死教程

为什么需要傅里叶分析?

  • 频域上能轻松滤波(只需要拿去频域的几根线即可)
  • 频域上能求解微分方程

傅里叶级数与傅里叶变换?

时域上的连续周期函数,可以被分解为一簇正弦波的集合。

时域上的连续非周期函数,可以被分解为无穷根正弦波的集合。

03

冲激响应、卷积、系统

参考资料:卷积视频教程

DR_CAN在浴帘背后发出敲击声,模拟冲激函数的输入,实际上就得到了浴帘系统的冲击响应h(t),其中包含了浴帘系统的输入输出性质,将这个h(t)与任意的u(t)做卷积,即可得到经过浴帘系统后的y(t),即 ,计算式为

思考这个过程,可以发现,如果说系统是将现实世界抽象为物理模型,那么卷积就是只关心这个系统输入输出时的数学表达,状态空间方程是关照系统中每个量变化的数学表达。

传递函数h(s)不过就是h(t)的s域形式,两者是一个东西。之所以要引入Laplace变换转到复频域,是因为时域内研究微分方程较为复杂。

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