深度学习入门笔记：感知机

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定义

感知机接收多个输入信号，输出一个信号。感知机的信号只有1/0两种取值，0对应“不传递信号”，1对应“传递信号”。

• x 1 ，x 2 是输入信号。
• y是输出信号。
• w 1 、w 2 是权重（w是weight的首字母）。每个变量都有权重，权重越大，对应该权重的信号的重要性就越高。
• 图中的○称为“神经元”或者“节点”。

输入信号被送往神经元时，会被分别乘以固定的权重（w 1 x 1 、w 2 x 2 ）。神经元会计算传送过来的信号的总和，只有当这个总和超过了某个界限值时，才会输出1。这也称为“神经元被激活” 。这里将这个界限值称为阈值，用符号θ表示。

导入权重和偏置

为方便后续的计算，把感知机公式改为：

对比两个公式：虽然有符号不同，但表达的内容是完全相同的。b称为偏置，w 1 和w 2 称为权重。感知机会计算输入信号和权重的乘积，然后加上偏置，如果这个值大于0则输出1，否则输出0。

−θ命名为偏置b，但是请注意，偏置b和权重w 1 、w 2 的作用是不一样的。具体地说，w 1 和w 2 是控制输入信号的重要性的参数，而偏置是调整神经元被激活的容易程度（输出信号为1的程度）的参数。比如，若b为−0.1，则只要输入信号的加权总和超过0.1，神经元就会被激活。但是如果b为−20.0，则输入信号的加权总和必须超过20.0，神经元才会被激活。像这样，偏置的值决定了神经元被激活的容易程度。另外，这里我们将w 1 和w 2 称为权重，将b称为偏置，但是根据上下文，有时也会将b、w 1 、w 2 这些参数统称为权重。

简单的逻辑电路

与门（AND gate）

• 全真为真，其余为假
• 全为1才是1，否则为0

感知机实现与门

公式的不同形式实现，后续以第二种数学公式为主

def AND(x1, x2):
    w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
    tmp = x1*w1 + x2*w2
    if tmp <= theta:
     return 0
    elif tmp > theta:
     return 1
    
================
AND(0, 0) # 输出0
AND(1, 0) # 输出0
AND(0, 1) # 输出0
AND(1, 1) # 输出1

---

def AND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.7
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

与非门（NAND gate）

• NAND：not and，和与门相反。
• 全真为假，其余为真
• 全为1则是0，否则为1

感知机实现与非门

def NAND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([-0.5, -0.5])
    b = 0.7
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

或门（OR gate）

• 有真为真，全假为假
• 有1便是1，全0才是0

感知机实现或门

def OR(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.2
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

感知机的局限性

异或门

• 一个真才是真，其余为假
• 只有一个1才是1，其余为0

使用实现与、非与、或的感知机无法实现异或

原因分析

以或门为例，当权重参数(b, w 1 , w 2 ) = (−0.5, 1.0, 1.0)时，可满足或门的条件。此时，感知机可表示为：

分析该分段函数，该直线把平面分为两个值为1或0的区域，直线下方为0，直线上方为1。

类似的，与门，非与门同样可以表示成类似图像。换言之，对于 与、非与、或 我们可以使用一条直线把平面分为两个区域。这种由直线分割而成的空间称为线性空间。

对于异或图像，想要用一条直线将图的○和△分开，无论如何都做不到。事实上，用一条直线是无法将○和△分开的。

只能使用曲线把它们分割开来

这样的曲线分割而成的空间称为非线性空间。

如何实现异或门

• 利用已有的门进行组合叠加即可实现异或门

门的符号：

异或门的实现：

from and_gate import AND
from or_gate import OR
from nand_gate import NAND

# y的代码
def XOR(x1, x2):
    s1 = NAND(x1, x2)
    s2 = OR(x1, x2)
    y = AND(s1, s2)
    return y

多层感知机

对比与、非与、或的感知机

异或的感知机

图中的感知机总共由3层构成，但是因为拥有权重的层实质上只有2层（第0层和第1层之间，第1层和第2层之间），所以称为“2层感知机”。不过，有的文献认为该图感知机是由3层构成的，因而将其称为“3层感知机”。

• 第0层的两个神经元接收输入信号，并将信号发送至第1层的神经元。
• 第1层的神经元将信号发送至第2层的神经元，第2层的神经元输出y。

这种2层感知机的运行过程可以比作流水线的组装作业。第1段（第1层）工人对传送过来的零件进行加工，完成后再传送给第2段（第2层）的工人。第2层的工人对第1层的工人传过来的零件进行加工，完成这个零件后出货（输出）。像这样，在异或门的感知机中，工人之间不断进行零件的传送。通过这样的结构（2层结构），感知机得以实现异或门。这可以解释为“单层感知机无法表示的东西，通过增加一层就可以解决”。也就是说，通过叠加层（加深层），感知机能进行更加灵活的表示。

感知机的拓展

多层感知机可以实现比之前见到的电路更复杂的电路。比如，进行加法运算的加法器也可以用感知机实现。此外，将二进制转换为十进制的编码器、满足某些条件就输出1的电路（用于等价检验的电路）等也可以用感知机表示。实际上，使用感知机甚至可以表示计算机！

内容小结

• 感知机是具有输入和输出的算法。给定一个输入后，将输出一个既定的值。
• 感知机将权重和偏置设定为参数。
• 使用感知机可以表示与门和或门等逻辑电路。
• 异或门无法通过单层感知机来表示。
• 使用2层感知机可以表示异或门。
• 单层感知机只能表示线性空间，而多层感知机可以表示非线性空间。
• 多层感知机（在理论上）可以表示计算机。