布朗运动的二阶变差

在随机分析里，布朗运动是占据核心位置的一种随机过程，因其优良的分布特性，成为构造其他更复杂的连续时间-连续状态随机过程的基石。

其中使得随机微积分区别于普通微积分的关键是布朗运动的二阶变差。假设 是一个随机过程，形式上，其二阶变差可以写成 ，它的值与时间长度相等：

其微分形式可以写成：

从这个结果可以看出来布朗运动的路径的关键性质：

(1) 对于任意一个固定的 ， 是关于 的连续函数；

(2) 以上函数关于时间 处处不可导（这是因为如果可导，则 ，二阶变差会为0）。