全纯域

首先回忆单复变量的全纯函数的性质.设 是 上的全纯函数,它的定义有下面两种方法:

(1) 的局部可写成收敛的幂级数, 即

(2) , 这里 与 是定义在 上的实值函数, 称为是全纯的,若它满足

这就是Cauchy-Riemann方程.

Cauchy-Riemann方程也可用下述方式表述:

我们引入常系数的偏微分算子

所以

故 满足Cauchy-Riemann方程当且仅当 . 中的系数 是有用的,这在后面将会看到.

对于多复变的情形,一样可以按照这两种方法来定义全纯函数.

(1) 在局部可写成收敛的幂级数,即

(2) , .

这里(2)等价于 对Cauchy-Riemann方程.

当 时,古典的复变函数中有一个重要的问题就是解析延拓.设 是定义在开集 上的全纯函数,则 可以延拓到最大的一个定义域 , 这个 就称为 的自然定义域.一般来讲, ,因为由单值性的问题, 常常是铺开在 上的区域.

例如, 设

它的自然定义域就是 上的两叶铺开的区域.

在多复变函数理论中,也有解析延拓的问题. 若 为定义在 上的一个全纯函数,且总可以解析延拓至更大的定义域上,则这个最大的定义域 就称为 的自然定义域. 这个 通常也不包含在 中,但它一定是铺开在 上的区域.

设 是一族 上的全纯函数, 定义 . 若我们取 为 上所有全纯函数的全体,对 与 两种情形 都是一样的,但当 时 . 这是很显然的:因为对 ,函数 是 内的全纯函数,而 , 即 , 故 . 但对于 的情形,这就未必: 例如 时, 通常不能像 的情形那样构造出类似于 的函数 使得对 时,推出 . 例如对 , 这里 表示 中原点所成的集,一般无法找到一个在 全纯,而在 这一单点所成的集上具有奇性的全纯函数,因为在 上一个区域定义的全纯函数的零点不是孤立点. 类似于 时的函数 , 我们自然会想到函数 . 但 的零点集是 , 因此 只在 上全纯, 而不在 上全纯. 另外函数 作为可微函数,只在 中的原点具有奇性,但它不是全纯函数. 在1906年, Hartogs发现 中存在区域 ,对任何全纯函数均可以解析延拓到更大的区域上去,亦即如果我们用 表示 上全纯函数全体,则对 中的某些区域 ,必有 , 但 , 这种现象后来就被人们称为Hartogs现象.

现在我们举一个具体的例子来说明Hartogs现象的存在,设

则 上的每个全纯函数都可以解析延拓至双圆柱

下面我们看一个示意图, 中的阴影部分记为 .作映射

则 . 现在我们来证明上述论断.

第一步是利用Laurent级数展开. 对每一个给定的 都可表示成Laurent级数

这里 是 的全纯函数. 当 时, 上式中的Laurent展开式中不出现负的幂次项,即 . 因为 为 中的全纯函数,在其中之一开集上为0,所以 在 上恒等于0. 因此 是双圆柱 上的全纯函数.

第二步是利用Cauchy积分, 今取 ,满足 ,定义全纯函数

这样定义的 是双圆柱 中的全纯函数;而在 中, . 因为此时它们可以用同一个Cauchy积分式表示,所以这样定义的 就是原来的 的解析延拓.也证明了 是双圆柱 上的全纯函数.

下面给出Hartogs所给出的全纯域(正则域)的定义.

定义: 设 是 中的一个开集(或是铺在 上的一个开集), 称为全纯域,如果不存在更大的 , 且 能使 都可以延拓到 上.

这里 表示 上全纯函数全体.

前面已经说明 中任一开集都是全纯域,这主要是由于 这类全纯函数的存在,而对 中的开集,有的可能不是全纯域.但是有的具有特殊条件的域可以证明它是全纯域.

定理:设 是一个开集, 如果 是欧式凸的,则 是全纯域.

证明: 用 表示 的边界,对 , 由于 是欧式凸的,因此存在一个过 点的实超平面 , 与 只相交于点 . 不失一般性, 我们可以认为 就是 中的坐标原点. 现在 是实超平面, 也是实超平面. 是一个经过原点的复超平面, . 由于 与 只相交于原点,因此 在 内是全纯的,但是它不能通过原点延拓出去.此结论对 内任一个点都成立. 故 是全纯域.