蒹葭苍苍

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2022/01/08阅读:59主题:姹紫

代数方程进阶(4)

代数方程进阶(4)

1 代数扩域

  • 对于一个数域 ,若 上一个不可约多项式的一个根,则称数域 为数域 的一个代数扩域

  • 定理3:若 为数域 上的 次不可约方程的一个根,则数域 上的每一个数都可以用系数属于 的关于 次多项式来表示,且表示方法唯一。

2 存在性的证明

设数域 上的 次不可约方程 的一个根为 。将 代入数域 ,得到数域 。数域 中的每一个数 可以表示成 的一个有理函数,其系数属于 。设

其中, 均为 上的多项式。由于

所以,每一个幂 均可以用幂 来表示。因此

其中, 上次数不大于 的多项式。

由于 不具有公因式,所以在 上存在两个多项式 ,使得

如果在此方程中令 ,由于 ,则 ,即 。将其展开,并再次消去每一个指数大于或等于 的幂。最终得到

其中,系数均属于

3 唯一性的证明

因此,对于 的一个根 ,存在 次多项式

的值等于零。 根据推论1[1]可知,各系数必等于零,即

参考资料

[1]

代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g

分类:

数学

标签:

数学

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