淦数学

V1

2022/04/22阅读:29主题:绿意

1958年高考数学真题

试卷综述

本套试卷有九道题目,时隔5年,二项式定理又回来了。三角方面的问题有3道,分别考察了恒等证明、特殊角的三角函数值、与一元二次方程构成了一道很有特色的题目;立几方面考察了线面垂直这一个知识点;平几方面有三道试题,跟圆有关的有两道,最有特色的是有一道作图题,不仅仅是作图而已。

有亮点的题目

  1. 第8题,一道你想都不敢想的问题,居然考了作图问题,命题者真的是花了心思,初看上去很懵,来一道这样的题,虽说是作图,其实考察核心还是在计算上面,根据已知的条件把一些线段的长度计算出来,假如现行高考题求变、求新可以在作图这一方面下功夫,比方说放到三角形里面,已知三角形的三条高,做出该三角形等等;

  2. 第9题,把三角函数问题与一元二次方程完美的结合了,在1957年时候就有这样的苗头,可以作为一类问题处理。

涉及到的知识点如下表:

表格来自自己整理
表格来自自己整理

有训练价值的题目

表格来自自己整理
表格来自自己整理

自己动手做一下呗

1.求二项式 展开式中 的系数.

2.求证

4.求证:正四面体 中相对的两棱(即异面的两棱)互相垂直

5.求解

9.已知直角三角形的斜边为 ,斜边上的高为 ,求证此直角三角形的两个锐角是三角方程 的根

试卷正文

1.求二项式 展开式中 的系数.

【解题笔记】二项式定理,利用通项公式即可

  • 同类问题有:
    • 1950年第5题 展开二项式 ,其第十五项为( )

      A.
      B.
      C.
      D.
      E.

    • 1951年第11题 展开式中的常数项如何?

    • 1953年第12题 求 之展开式中的常数项

    • 1954年第3题 用二项式定理计算 ,使误差小于千分之一

2.求证

【解题笔记】三角恒等证明,从右边入手,多次利用正弦倍角公式。

  • 类似问题
    • 1950年第11题 证明:

    • 1956年第5题 设 , 是方程 的两根,求证: =

3.设 为一个圆的两弦, 的中点, 的中点,作直线 ,交 ,求证:

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】要说明 ,可以说明在 中, ,再利用三角形外角定理,所以需要作辅助线 , ,作图如下:

题目原图

原图
原图

作完辅助线后

作辅助线
作辅助线

4.求证:正四面体 中相对的两棱(即异面的两棱)互相垂直

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】这道题目,很多参考书上都有所收录,甚至很多课件里面也有,证明题的入门级别的题目。要证明这个问题,必须通过线面垂直来进行证明,现简单说下一组,其余的可以通过同理可证,取 的中点 ,连接 , ,如下图:

几何画板作图
几何画板作图

因为是个正四面体,所以每个面都是等边三角形,然后 为中点,根据三线合一,就能够得到垂直。

5.求解

【解题笔记】直接可以得到

  • 同类问题有
    • 1951年第12题 的通解是什么?

    • 1952年第14题 方程 的通解x=?

    • 1953年第6题 若 ,求 的值。

    • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

    • 1955年第7题 解方程 ,求 的通值

6.解方程组

【解题笔记】 可以转化为: ,之后可以换元,令 , ,则 ,进行换元,得到一个求解简便的方程。

  • 类似问题
    • 1953年第10题 解

    • 1956年第6题 解方程组

7.设有二同心圆,半径为 ( ),今由圆心 作半径交大圆于 ,交小圆于 ,由 作直线 垂直大圆的直径 ,并交 ;由 作直线 垂直 ,并交 ,已知 ,求 的长

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】利用锐角三角函数得出: , , ,再根据勾股定理即可求解。

8.已知三角形 ,求作圆经过 中点 ,并与 直线相切. 已知: 的中点.求作:一个经过 两点且与 直线相切的圆

【解题笔记】我们可以倒推过去,设 即为合于要求的圆(如图)因 经过 两点且与直线 相切于点 ,这样, 的切线, 的割线,所以,应有 均为已知,因此, 的长度可以作出,由此可得点 ,于是过 三点就可确定所求之圆

几何画板作图
几何画板作图

9.已知直角三角形的斜边为 ,斜边上的高为 ,求证此直角三角形的两个锐角是三角方程 的根

【解题笔记】设直角三角形的两条直角边分别为 ,由等面积可以知道 ,其次根据勾股定理得到 ,可以求出 ,进而计算得到两个锐角正弦值。

  • 类似问题
    • 1957年第7题 求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 的度数以及 的值.

分类:

数学

标签:

数学基础

作者介绍

淦数学
V1