1958年高考数学真题

试卷综述

本套试卷有九道题目，时隔5年，二项式定理又回来了。三角方面的问题有3道，分别考察了恒等证明、特殊角的三角函数值、与一元二次方程构成了一道很有特色的题目；立几方面考察了线面垂直这一个知识点；平几方面有三道试题，跟圆有关的有两道，最有特色的是有一道作图题，不仅仅是作图而已。

有亮点的题目

1. 第8题，一道你想都不敢想的问题，居然考了作图问题，命题者真的是花了心思，初看上去很懵，来一道这样的题，虽说是作图，其实考察核心还是在计算上面，根据已知的条件把一些线段的长度计算出来，假如现行高考题求变、求新可以在作图这一方面下功夫，比方说放到三角形里面，已知三角形的三条高，做出该三角形等等；

2. 第9题，把三角函数问题与一元二次方程完美的结合了，在1957年时候就有这样的苗头，可以作为一类问题处理。

涉及到的知识点如下表：

有训练价值的题目

自己动手做一下呗

1.求二项式 展开式中 的系数.

2.求证

4.求证：正四面体 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直

5.求解

9.已知直角三角形的斜边为 ，斜边上的高为 ，求证此直角三角形的两个锐角是三角方程 的根

试卷正文

1.求二项式 展开式中 的系数.

【解题笔记】二项式定理，利用通项公式即可

• 同类问题有：

  • 1950年第5题 展开二项式 ,其第十五项为（ ）

    A.
    B.
    C.
    D.
    E.

  • 1951年第11题 展开式中的常数项如何？

  • 1953年第12题 求 之展开式中的常数项

  • 1954年第3题 用二项式定理计算 ，使误差小于千分之一

2.求证

【解题笔记】三角恒等证明，从右边入手，多次利用正弦倍角公式。

• 类似问题

  • 1950年第11题 证明:

  • 1956年第5题 设 , 是方程 的两根，求证： =

3.设 ， 为一个圆的两弦， 为 的中点， 为 的中点，作直线 交 于 ，交 于 ，求证：

【解题笔记】要说明 ，可以说明在 中, ，再利用三角形外角定理，所以需要作辅助线 , ,作图如下：

题目原图

作完辅助线后

4.求证：正四面体 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直

【解题笔记】这道题目，很多参考书上都有所收录，甚至很多课件里面也有，证明题的入门级别的题目。要证明这个问题，必须通过线面垂直来进行证明，现简单说下一组，其余的可以通过同理可证，取 的中点 ，连接 , ，如下图：

因为是个正四面体，所以每个面都是等边三角形，然后 为中点，根据三线合一，就能够得到垂直。

5.求解

【解题笔记】直接可以得到

• 同类问题有

  • 1951年第12题 的通解是什么？

  • 1952年第14题 方程 的通解x=？

  • 1953年第6题 若 ,求 的值。

  • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

  • 1955年第7题 解方程 ,求 的通值

6.解方程组

【解题笔记】 可以转化为： ,之后可以换元，令 , ，则 ,进行换元，得到一个求解简便的方程。

• 类似问题

  • 1953年第10题 解

  • 1956年第6题 解方程组

7.设有二同心圆，半径为 ， ( ），今由圆心 作半径交大圆于 ，交小圆于 ，由 作直线 垂直大圆的直径 ，并交 于 ;由 作直线 垂直 ，并交 于 ，已知 ，求 的长

【解题笔记】利用锐角三角函数得出： , , ，再根据勾股定理即可求解。

8.已知三角形 ，求作圆经过 及 中点 ，并与 直线相切. 已知： 为 的 的中点.求作：一个经过 、 两点且与 直线相切的圆

【解题笔记】我们可以倒推过去,设 即为合于要求的圆（如图）因 经过 、 两点且与直线 相切于点 ，这样， 为 的切线， 为 的割线，所以，应有 而 ， 均为已知，因此， 的长度可以作出，由此可得点 ，于是过 、 、 三点就可确定所求之圆

9.已知直角三角形的斜边为 ，斜边上的高为 ，求证此直角三角形的两个锐角是三角方程 的根

【解题笔记】设直角三角形的两条直角边分别为 ，由等面积可以知道 ，其次根据勾股定理得到 ,可以求出 ，进而计算得到两个锐角正弦值。

• 类似问题

  • 1957年第7题 求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 , 求 、 、 的度数以及 的值.