一维运动的速度与加速度

已知运动物体的位置与时间的函数关系，通过对时间求一阶导数和二阶导数就可以得到速度和加速度。

在《粒子沿直轨道运动》中，我们引入了位置和位移这两个物理量，它们描写了粒子的运动状态，但是，只有这两个物理量并不能准确地描写运动。许多时候，我们还需要知道粒子运动的快慢程度，这就需要引入速度的概念。假定粒子在时刻 处于位置 ，在时刻 (不妨假设 ) 处于位置 ，那么，在 这段时间间隔内，粒子的平均速度就被定义为

通常会在一个物理量的上方加一条横线代表对该物理量求平均。平均速度虽然能够反映在一段有限的时间间隔内运动的平均快慢，但是，它并不能真实地反映粒子在某个时刻运动的快慢程度，要做到这一点，需要进一步引入瞬时速度的概念。假定从任意时刻 开始，粒子在 时间内发生了位移 ，如果我们取的这段时间间隔非常短，以至于在物理上可以认为这段时间间隔等于零，那么，定义在这段时间间隔内的平均速度就是 时刻的瞬时速度：

瞬时速度通常简称为速度，它实际上是平均速度在 时的极限，反映了在某个特定的时刻粒子的位置变化的快慢。速度也是一个矢量，在一维运动的情况下，仍然用正负号表示这个特性。与位移相似，一个粒子的运动速度与坐标原点的选取无关。

从数学上看，在速度的定义式中，第一个等号后的极限式正是 作为 的函数对 的一阶导数。大家可能注意到，在速度的这个定义式中，最后一个等号的上面打了一个小三角，这个符号代表用放在它后面的符号简记放在它前面的式子。这就是说，在一个物理量的上方画一个小圆点表示该物理量对时间求一阶导数。在物理学中，通常会对一个物理量求空间的导数或者求时间的导数。为了区分这两种导数，物理学家发明了一个符号，在一个物理量的上方画小圆点表示对该物理量求时间导数，而对空间求导数仍然使用撇来表示。对时间求一阶导数就画一个小圆点，若是要求二阶导数就画两个小圆点，依此类推。

前面已经写下了粒子做自由下落运动时位置与时间的函数关系，利用这个函数关系就可以求出任意一段时间间隔内粒子的平均速度以及任意时刻粒子的瞬时速度。下面的图给出了从下落之后的第 3 秒到第 5 秒之间粒子下落的平均速度以及从下落开始到第 10 秒期间粒子的瞬时速度随时间变化的函数图。

在许多情况下，粒子的运动速度会随着时间而改变，粒子做自由下落运动时速度随时间的改变就是一个例子。为了反映运动速度的改变，需要引入加速度的概念，这样才能更准确地描写粒子的运动。加速度反映速度变化的快慢程度。与速度的概念一样，加速度也有平均加速度与瞬时加速度之分。假定粒子在时刻 的运动速度为 ，在时刻 的运动速度为 ，那么，该粒子在 这段时间内的平均加速度就被定义为

与瞬时速度类似，粒子在任意时刻的瞬时加速度被定义为

与位移和速度一样，加速度是矢量，并且与坐标原点的选取无关。

当粒子做自由下落运动时，利用下落位置与时间的函数关系对时间求二阶导数，或者利用前面得到的下落速度与时间的函数关系对时间求一阶导数，不难得出，它在任意时刻的加速度恒等于重力加速度。这意味着它在任意一段时间间隔内的平均加速度与它在任意时刻的瞬时加速度相等。当然，在一般情况下，平均加速度与瞬时加速度并不必定具有这种“相等”性，在许多运动中，加速度有可能随时间发生改变。