群论、域论

群论

定义一个二元运算： 乘法

• 封闭性：
• 结合律：
• 存在单位元：
• 存在逆元：

一脸懵，这是在说啥？怎么跟对称性扯上关系的？

举几个例子:

• 自然数是群吗？
• 是等边三角形所有对称性的体现，所有置换构成的群

感受一下各种各样的群Group Explore

交换群： 也称阿贝尔群，即

所有的循环群，都是阿贝尔群。

子群： 若群 H 是群 G 的子群：

• H 满足群公理

记作 .

G 是 G 本身的非真子群，幺群 是 G 的平凡子群。

群的元素个数是子群元素个数的整数倍。

大的群可以由较小阶的群构成。大群也有小群的特征。

正规子群：

环与域： 在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

简单而言，设 F 是一个含有 0 和 1 的数集。如果 F 对于数的四则运算都封闭，那么称系统（F；+，－，×，÷）为一个数域。

群同构： 存在两个群 之间的一个双射（即一一对应的映射） ，满足 ，其中 分别是群A和B的“乘法”。

两个域的同构： 两个域上的“加法”群同构，并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

域扩张

扩域： 把某个域 F 中添加进一个或几个不属于这个域的元素，在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下，按照域的定义形成的新域 E 被称为原来域的扩域，记为 E/F。

简单地说，域是一个集合，可以进行加减乘除，比如有理数 ，在 中，不论如何进行加减乘除的运算，结果都还在域里，不会“出圈”。但是，若要进行开方，就可能出问题了，比如解方程： ，根为 ，就不在 的域中了，这时你可能就想要扩展域了，但不希望一下子扩的太大，够用就行，那么我们就把 加(adjoin)到 中来，注意，实际加入的不仅是 ，而且把 的任意有理数的倍数都加进来了，比如 等等，当然也包括共轭根 ，相当于 ，记为 .

扩域中，一般元素的表达式中的项数，称为扩张的次数。比如：

对于 的两个共轭根 ，从域中随便选个元素，比如 ，若以 替代 ，那么就变成了 ，以 来表示这种置换； 表示Identity，即什么都不做，类似于乘法中的“1”， ，且本例中： ，两次变换，负负得正又变回来了，即 。

每个变换 都存在一个逆变换 将 的变换还原 ，本例中 就是 自身，因为 。

可顺序的处理两个变换： .

多项式方程的所有对称被称为伽罗华群 ，方程的可解性与方程对应的伽罗华群密切相关。

方程 的伽罗华群： ,可以形象的理解为镜像，或者将集合反转180度。

伽罗瓦群： 如果 是一个多项式的根，我们通过嵌入 指定G在这些根上的一个作用，其中 的像恰好是那些算术等式觉察不到的置换，那么G是该多项式的伽罗瓦群。

，所以用另外一个扩域把 添加到 ，会得到一个更大的伽罗瓦群。这次扩张的不是 ，而是域 ，可以表示为 ，以显示出2步扩张，也可以采用常见的 。

因为 是一个二次多项式的根，所以我们猜测这是 的一个二次扩张。这意味着它应该包含形如 的元素，其中 ，而不是 ，即 。因此， 的元素看起来都是

这是一个代表 中元素的四项表达式，其中系数来自 。所以 是 的二次扩张，但却是Q的四次扩张。即

因为我们把 作为二次方程 的根，添加到了 ，所以

任取 上的一个不可约多项式，设 是它的任意两个根，存在一个把 替换为 但固定 的同构 ，例如在2次扩张中， 的形式如下：

如果把 换成 与 之间的任意域，那么上述结论仍成立。

的不可约多项式是 ， 的不可约多项式是 ，这两个多项式共有4个根 ，以这4个数为根的多项式是 或 ，但它是可约的，而上述定理考虑的是不可约多项式。

可用 代替 ，首先考虑不可约多项式 ， 与 存在一个同构把 映射到 ，其中 ，因为 与 是相同的，这就是自同构之一，记为 ，它互换了 ，而固定了 。

对 和不可约多项式 应用同一个定理，也得到 的一个自同构，这个自同构互换了 而固定了 ，记为 。可导出：

沿着这个思路继续下去，将揭示出这四个自同构 构成一个群，这个群同构于 .

这说明，存在一个把不可约多项式的任意一根映射为其余一根的自同构，从而说明了Q不能识别不可约多项式的不同根。换句话说，关于一个不可约多项式的根，我们用Q的语言能做出的最详尽的陈述是它使该多项式等于零。

划重点：多项式方程 存在根式解，可从 开始，每次adjoin一次，直到最终直到那个域包含的多项式所有的根。

回顾下一元三次方程的根，是不是这样？

先扩展2次根，再扩展3次根。

类似的，对于任意高次( 次)的多项式方程，均可通过对其根的逐步扩张来创建它的域 。

再来一个例子 ， 是它的一个根。它还有另外2个根:

这三个根分别用 表示，考虑 ，并非 ，因为这个扩张是3次的，上述形式的元素相乘，不能得到另一个同形式的元素

它还需要一项 ， 的一般形式是：

因此， 并不包含 ，因为 在实数域中，而 并非实数。这与我们之前见过的2次的情形非常不一样。可以验证

这个域中的元素具有6项形式：

这说明 是Q的6次扩域。

正规扩张 当一个扩张包含一个不可约多项式的所有根，称该扩张为正规扩张。正规扩张的次数等于其伽罗瓦群的阶，扩张后的域称为该多项式的根域。

该定理使得计算 的伽罗瓦群变得十分容易，因为共有三个根，所以该伽罗瓦群必同构于 的某个子群；又因为伽罗瓦群的阶等于扩张的次数6，所以它必为整个 .

简单示例

对于方程 来说，可将其对应的伽罗华群 想像为一个从0到6编码的拨盘，该群所有元素可通过多次应用 得到，故称循环群 .（C for cyclic）

该方程有7个根： . 是个“好方程”，所谓“好”，是因为其存在根式解，但是存在根式解的方程，并不要求其对应的伽罗华群必须是循环群。

对于一个五次方程，如何判断其是否存在根式解呢？这就需要强大的新武器了——伽罗华理论(Galois Theory)了，其核心是思想是将域的问题转化为对称问题。

再看个例子： ，虽然是个四次方程，但实际上很简单，因为这是个双二次方程，只要将 替换为 ，就能用一元二次方程的求根公式马上得到 的2个根，再开根即能得到 的4个根：

设 ，此处将 看成变量。

第一步： 先对 进行域扩张： ，在域 中存在两个对称关系： (1)， 在一些特定的置换下，这两个对称关系是满足的，比如置换 ,或 ，分别记为 。列出所有满足这两个关系的置换：

表示identity变换，就是什么都不做。

是置换群 的子集： ， 包含所有的 种置换。对于 次多项式， 置换群表征了其最大的置换对称性，即其对应的伽罗华群。

不在 中的置换，比如 不满足(1)要求的关系

第2步： 考虑

关系 (2)在一个更大的域 中。

从(1)中，我们也知道：

那么，在哪些置换下，关系(2)保持不变(invariant)呢?